Propiedades de los límites

1 El límite si existe es único.

2 Si una sucesión a_n tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismo límite que a_n.

3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.

4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes

a_n=\left\{\begin{array}{ccl}-\cfrac{1}{n} && \text{si} \ n \ \text{es impar,}\\\\ 2 && \text{si} \ n \ \text{es par}\end{array}\right.

5 Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.

6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas

a_n=\left\{\begin{array}{ccl}-\cfrac{1}{n} && \text{si} \ n \ \text{es impar,}\\\\ \cfrac{1}{n} && \text{si} \ n \ \text{es par}\end{array}\right.

 

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Infinitésimos

Una sucesión a_n es un infinitésimo si es una sucesión convergente que tiene por límite cero

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0

 

Ejemplo: Las sucesiones

a_n=\cfrac{1}{n}, \ b_n=\cfrac{n}{n^2+1}, \ c_n=\cfrac{2n^2}{(n-1)^3}

 

son infinitésimos porque:

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty}\cfrac{1}{n}=0

\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n =\lim_{n\to\infty}\cfrac{n}{n^2+1}=0

\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n =\lim_{n\to\infty}\cfrac{2n^2}{(n-1)^3}=0

Propiedades de los infinitésimos

1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4 El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5 Si una sucesión a_n converge a L, la sucesión (a_n - L) es un infinitésimo.

6 Si una sucesión a_n es divergente, su inversa es un infinitésimo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗