Definición de sucesión con límite infinito

 

Sucesión con límite +\infty

Se dice que una sucesión a_n tiene por límite +\infty cuando para toda M>0 existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n>M.

 

\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=+\infty \Longleftrightarrow \forall M>0, \; \exists k\in\mathbb{N}\; |\, \forall n>k,\; a_n>M.

 

Ejemplo: Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a_n= n^2 es +\infty

 

1 Los primeros términos de la sucesión son: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots

 

2 Encontramos k\in\mathbb{N} que satisfaga que para toda n>k se cumple a_n>M

 

Como necesitamos que a_n>M, entonces n^2>M, luego n>\sqrt{M}=k.

 

3 Si tomamos M = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a_{101} superará a 10 000.

 

a_{101}= 101^2 = 10 201>M=10 000

 

Sucesión con límite -\infty

Se dice que una sucesión a_n tiene por límite -\infty cuando para toda N>0 existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que a_n<-N.

 

\displaystyle\lim_{n\to +\infty}a_n=-\infty \Longleftrightarrow \forall N>0, \; \exists k\in\mathbb{N}\; |\, \forall n>k,\; a_n<-N.

 

Ejemplo: Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a_n= -n^2 es -\infty

 

1 Los primeros términos de la sucesión son: -1, -4, -9, -16, -25, -36, -49, \dots

 

2 Encontramos k\in\mathbb{N} que satisfaga que para toda n>k se cumple a_n<-N

 

Como necesitamos que a_n<-N, entonces -n^2<-N, luego n>\sqrt{N}=k.

 

3 Si tomamos N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a_{101} superará a -10 000.

 

a_{101}= -101^2 = -10 201<-N=-10 000

 

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Tipos de sucesiones

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

 

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito positivo o negativo.

 

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, \dots

 

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

 

Convergentes

1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25, 0.125, -0.125, \dots

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

 

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +\infty.

 

Oscilantes

-1, 2, -3, 4 ,-5, \dots, (-1)^n\cdot n

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗