Límite finito de una sucesión

Se dice que una sucesión a_n tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo \epsilon que tomemos, existe un término a_k, a partir del cual todos los términos de a_n, siguientes a a_k cumplen que

 

    $$ |a_n -L| < \epsilon $$

  En simbología matemática seria  

    $$ \lim \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{L} \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \quad \exists \mathrm{k} \in \mathbb{N} \quad t.q \quad \forall \mathrm{n}>\mathrm{k} \quad\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{L}\right|<\varepsilon $$

 

Consideremos el siguiente ejemplo:

La sucesión a_n = \frac{1}{n} tiene por límite 0.

Pues tenemos que

    \[ \left|\frac{1}{\mathrm{k}}-0\right|<\epsilon \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\mathrm{k}}<\epsilon \quad \Rightarrow \quad \mathrm{k}>\frac{1}{\epsilon} \]

Ya que podemos determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (\epsilon), por pequeño que éste sea.

Por ejemplo, consideremos \epsion = 0.1 entonces

    \[ \varepsilon=0.1 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{k}>\frac{1}{0.1} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{k}>10 \]

Como k>10 a partir del a_{11} se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1 .

    \[ \left|\frac{1}{11}-0\right|<0.1 ; \quad \ \ 0.0909090909091<0.1 \]

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

    \[ \varepsilon=0.001 ; \quad \Rightarrow \quad \mathrm{k}>\frac{1}{0.001} ; \quad \Rightarrow \quad \mathrm{k}>1000 \]

    \[ \left|\frac{1}{1001}-0\right|<0.001 ; \quad \ \ 0.000999000999<0.001 \]

A partir del a_{1001}se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗