En este artículo estudiaremos el concepto de límite de una sucesión. Recordemos que, una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a continuación de otro, y se denota usualmente por

     $$ \{a_n\}_{n=1}^\infty=\{a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\} \quad\text{ó} \quad \{a_n\}=\{a_1,a_2,\dots,a_n,\dots\} $$

 

Además, se dice que una sucesión  \{a_n\} tiene por límite  L si y sólo si para cualquier número positivo  \varepsilon que tomemos, existe un término  a_k , a partir del cual todos los términos de  \{a_n\}, siguientes a  a_k cumplen que

     $$ |a_n-L|< \varepsilon. $$

  Esto, escrito formalmente sería

     $$ \lim_{n\to\infty}a_n=L\quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad\text{tal que} \quad \forall n>k \quad \left|a_n-L\right|<\varepsilon. $$

 

Veamos esto con un ejemplo. Consideremos la sucesión

    $$ \{a_n\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots,\frac{1}{10},\dots,\frac{1}{1000},\dots,\frac{1}{100000},\dots\right\}.$$

 

De esta sucesión se tienen las siguientes observaciones:

 

1 Los términos de la sucesión se aproximan a cero: Nótese que, a medida que se avanza en la sucesión, los términos son cada vez más pequeños y se aproximan a cero. Por ejemplo, se verifica que,

     $$ a_1=1>a_2=\frac{1}{2}>a_3=\frac{1}{3}>\dots>a_n=\frac{1}{n}>\dots $$

Esta tendencia siempre se cumple. Además, dado que  n crece a medida que se avanza en la sucesión, el término en sí, decrece a cero. Por ejemplo se tiene que

     $$ a_{10}=0.1>\dots>a_{1000}=0.001>\dots>a_{10000}=0.0001>\dots $$

 

2 La distancia a cero puede ser tan pequeña como queramos: Observemos que, si

    $$d(x,y)=|x-y|$$

denota la distancia entre dos número reales, entonces la distancia entre cada término de la sucesión y cero, es tan pequeña como se quiera. Esto es,

  • d(1,0)=1
  • d(1/10,0)=0.1
  • d(1/100,0)=0.01
  • d(1/1 000,0)=0.001
  • d(1/1 000 000,0)=0.000001

 

En base a esta información y siguiendo la definición de límite de una sucesión enunciada arriba, podemos conjeturar que el límite de la sucesión  \{a_n\}=\{\frac{1}{n}\} es cero, esto es

     $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. $$

 

Para ver esto de una manera rigurosa, hacemos uso de la definición matemática de límite de una sucesión. Así, sea  \varepsilon>0 y elijamos  k\in\mathbb{N} tal que  k>1/\varepsilon. Entonces,  1/k<\varepsilon y, para n>k,

     $$ 0<\frac{1}{n}<\frac{1}{k}, $$

luego

     $$ \left|a_n-L\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\frac{1}{k}<\varepsilon,$$

lo que se quería.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗