La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 1

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 2

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

  fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
  100

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 3

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 4

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 5

La clase modal es la que tiene mayor altura.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 6

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 7

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

  fi hi
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
  50  

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 8

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 9

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1

Ordenamos los datos de menor a mayor.

2

Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3

Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 10.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 11

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 12 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

  fi Fi
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
  100  

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 13

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 14 es el símbolo de la media aritmética.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 15

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 16

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 17

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 18

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 19

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

  xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
    42 1 820

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 20

Propiedades de la media aritmética

1

La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 21

Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2

La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

Explicaciones y ejemplos de medidas de  de tendencia central - 22

3

Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4

Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1

La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2

La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3

La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4

La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

  xi fi
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ )   8
    100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.