En este artículo veremos ejercicios en los cuales elaboraremos la tabla de frecuencias para un conjunto de datos dado.

 

1 Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

 

\displaystyle 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31,

\displaystyle 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

 

 

Crea la tabla de frecuencias, esta debe tener cada dato, sus frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.

 

Notemos que se tienen las siguientes características

 

1 En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de

 

menor a mayor.

 

2 En la segunda anotamos la frecuencia absoluta (cuándas veces aparece cada dato en específico), f_i.

 

3 En la tercera anotamos la frecuencia acumulada (La suma de las frecuencias absolutas de la variable actual y las anteriores), F_i.

 

4 En la primera fila tenemos que la frecuencia absoluta y la acumulada que son iguales: F_1 = f_1

 

5 Para todas las filas que no sean la primera, tenemos que la frecuencia acumulada es igual a la frecuencia absoluta de esta fila más la frecuencia acumulada de la fila anterior, así

 

\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}

 

6 La última frecuencia acumulada tiene que ser igual a N (sumatoria de fi), esto es, F_8 = N = 31.

 

7 En la cuarta columna disponemos las frecuencias relativas, n_i,

 

que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por el total de datos, N = 31.

 

8 En la quinta anotamos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

9 En la primera fila tenemos que la frecuencia relativa acumulada y la frecuencua relativa son iguales: N_1 = n_1

 

10 Para todas las filas que no sean la primera, tenemos que la frecuencia relativa acumulada es igual a la frecuencia relativa de esta fila más la frecuencia relativa acumulada de la fila anterior, así

 

\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}

 

Dicho todo lo anterior, la tabla de frecuencias está dada por

 

x_i f_i F_i n_i N_i
27 1 1 0.032 0.032
28 2 3 0.065 0.097
29 6 9 0.194 0.290
30 7 16 0.226 0.516
31 8 24 0.258 0.774
32 3 27 0.097 0.871
33 3 30 0.097 0.968
34 1 31 0.032 1
31 1

 

2 Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla

 

Peso f_i
[50, 60) 8
[60, 70) 10
[70, 80) 16
[80,90) 14
[90, 100) 10
[100, 110) 5
[110, 120) 2

 

crea su respectiva tabla de frecuencias.

 

Notemos que la tabla de frecuencias debe cumplir lo siguiente

 

1 En la primera columna de la tabla colocamos los intervalos o grupos. Ya tenemos esta columna.

 

2 En la segunda anotamos la frecuencia absoluta (cuándas veces aparece cada dato en específico), f_i. Ya tenemos esta columna.

 

3 En la tercera anotamos la frecuencia acumulada (La suma de las frecuencias absolutas de la variable actual y las anteriores), F_i.

 

4 En la primera fila tenemos que la frecuencia absoluta y la acumulada que son iguales: F_1 = f_1

 

5 Para todas las filas que no sean la primera, tenemos que la frecuencia acumulada es igual a la frecuencia absoluta de esta fila más la frecuencia acumulada de la fila anterior, así

 

\displaystyle F_i = f_i + F_{i - 1}

 

6 La última frecuencia acumulada tiene que ser igual a N (sumatoria de fi), esto es, F_8 = N = 31.

 

7 En la cuarta columna disponemos las frecuencias relativas, n_i,

 

que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por el total de datos, N = 31.

 

8 En la quinta anotamos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

9 En la primera fila tenemos que la frecuencia relativa acumulada y la frecuencua relativa son iguales: N_1 = n_1

 

10 Para todas las filas que no sean la primera, tenemos que la frecuencia relativa acumulada es igual a la frecuencia relativa de esta fila más la frecuencia relativa acumulada de la fila anterior, así

 

\displaystyle N_i = n_i + N_{i - 1}

 

Dicho todo lo anterior, la tabla está dada por

 

x_i f_i F_i n_i N_i
[50, 60) 55 8 8 0.12 0.12
[60, 70) 65 10 18 0.15 0.27
[70, 80) 75 16 34 0.24 0.51
[80,90) 85 14 48 0.22 0.73
[90, 100) 95 10 58 0.15 0.88
[100, 110) 105 5 63 0.08 0.96
[110, 120) 115 2 65 0.03 0.99
65

 

3 Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla:

 

Número de caries f_i n_i
0 25 0.25
1 20 0.2
2 x z
3 15 0.15
4 y 0.05

 

Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

 

Tenemos que siempre la suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. Esto quiere decir que

 

    \begin{align*} 0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 &= 1\\0.65 + z &= 1\\z &= 0.35\end{align*}

 

Por lo tanto z = 0.35. Ahora, tenemos que z es la frecuencia relativa del grupo con 2 caries, mientras que la frecuencia absoluta es x. Además, notemos que N = 100 ya que son datos de 100 niños. Así, tenemos que la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta entre N, usaremos este hecho para encontrar x

 

    \begin{align*} \frac{x}{100} &= z\\\frac{x}{100} &= 0.35\\x &= 35\end{align*}

 

Solo nos falta encontrar y que es la frecuencia absoluta del grupo con 4 caries, mientras que su frecuencia relativa es 0.05. Tenemos que la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta entre N, usaremos este hecho para encontrar y

 

    \begin{align*} \frac{y}{100} &= 0.05\\y &= 5\end{align*}

 

Ahora ya tenemos los datos necesarios para completar nuestra tabla

 

Número de caries f_i n_i
0 25 0.25
1 20 0.2
2 35 0.35
3 15 0.15
4 5 0.05
100

 

4 Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

 

x_i f_i F_i n_i
1 4 0.08
2 4
3 16 0.16
4 7 0.14
5 5 28
6 38
7 7 45
8

 

Resolveremos esto paso por paso, primero encontraremos el valor de N y posteriormente encontraremos todos los datos faltantes de cada fila.

 

1 Primero encontremos el valor de N.

 

Para encontrar el valor de N usaremos la primera fila. Recordemos que la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta entre N, dado que tenemos la frecuencia absoluta f_1 = 4 y la frecuencia relativa n_1 = 0.08, usaremos esto para despejar n

 

    \begin{align*} \frac{4}{N} &= 0.08\\N &= \frac{4}{0.08}\\N &= 50\end{align*}

 

2 Primer fila. Es sencillo, solo nos falta la frecuencia acumulada, F_1, pero al ser la primer fila (primer clase), esta es igual a la frecuencia absoluta, por lo tanto,

 

\displaystyle F_1 = f_1 = 4

 

3 Segunda Fila. Primero encontremos la frecuencia acumulada, recordemos que esta es igual a

 

    \begin{align*} F_2 &= F_1 + f_2\\&= 4 + 4\\&= 8\end{align*}

 

Ahora encontremos la frecuencia relativa, dado que ya tenemos la frecuencia absoluta tenemos que

 

\displaystyle n_2 = \frac{4}{50} = 0.08

 

4 Tercer fila. Únicamente nos falta la frecuencia absoluta, esta la podemos obtener a través de la frecuencia acumulada o la frecuencia relativa, nosotros procedemos a traves de la frecuencia acumulada

 

    \begin{align*} F_3 &= F_2 + f_3\\16 &= 8 + f_3\\f_3 &= 8\end{align*}

 

5 Cuarta fila. Únicamente nos falta la frecuencia acumulada, la calcularemos directamente

 

    \begin{align*} F_4 &= F_3 + f_4\\&= 16 + 7\\&= 23\end{align*}

 

6 Quinta fila. Únicamente nos falta la frecuencia relativa, la calcularemos directamente

 

    \begin{align*} n_5 &= \frac{5}{50}\\&= 0.1\end{align*}

 

7 Sexta fila. Nos falta la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa. Calculemos la frecuencia absoluta por medio de la frecuencia absoluta.

 

    \begin{align*} F_6 &= F_5 + f_6\\38 &= 28 + f_6\\f_6 &= 10\end{align*}

 

Ahora calculemos la frecuencia relativa directamente usando la frecuencia absoluta

 

    \begin{align*} n_6 &= \frac{10}{50}\\&= 0.2\end{align*}

 

8 Séptima fila. Únicamente lnos falta la frecuencia relativa, la calcularemos directamente

 

    \begin{align*} n_7 &= \frac{7}{50}\\&= 0.14\end{align*}

 

9 Octava y última fila. Nos faltan todos los datos. Primero obtengamos la frecuencia acumulada. Notemos que debido a que es la última fila, la frecuencia acumulada es igual a N, por lo tanto

 

\displaystyle F_8 = N = 50

 

Ahora obtegamos la frecuencia aabsoluta a través de la frecuencia acumulada

 

    \begin{align*} F_8 &= F_7 + f_8\\50 &= 45 + f_8\\f_8 &= 5\end{align*}

 

Por último obtengamos la frecuencia relativa de forma directa

 

    \begin{align*} n_8 &= \frac{5}{50}\\&= 0.1\end{align*}

 

Así, la tabla está dada por

 

x_i f_i F_i n_i
1 4 4 0.08
2 4 8 0.08
3 8 16 0.16
4 7 23 0.14
5 5 28 0.1
6 10 38 0.2
7 7 45 0.14
8 5 50 0.1
50

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗