Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 1

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 2

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 3

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 4

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 5

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 6

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 7

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

  xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
    21 457.5   98.57

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 8

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 9

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 10.

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 11Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 12

Varianza para datos agrupados

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 13Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 14

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 15Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 16

Varianza para datos agrupados

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 17Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 18

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 19

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 20

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

  xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
    42 1 820 88 050

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 21

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 22

1

La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2

Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3

Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4

Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 23

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 24

Observaciones sobre la varianza

1

La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2

En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3

La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 25Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 26

Desviación típica para datos agrupados

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 27Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 28

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 29Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 30

Desviación típica para datos agrupados

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 31Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 32

Ejercicios de desviación típica

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 33

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 34

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

  xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
    42 1 820 88 050

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 35

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 36

1

La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2

Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3

Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4

Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 37

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Explicaciones y ejemplos de medidas de dispersión - 38

Observaciones sobre la desviación típica

1

La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2

En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3

Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.