El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación
tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente
.

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 1

Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 2

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término
en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la
operación:

E'2 = E2 − 3E1

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 3

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 4

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 5

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

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Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 7

Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 · 1 = −2   y = 6

x + 6 −1 = 1     x = −4

Ejercicios

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Explicaciones y ejemplos de método de gauss - 27

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2. Método de Gauss utilizando matrices

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Ejemplos

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