El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

A · A-1  = A-1 · A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

Cálculo por determinantes

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 1

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 2

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 3

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 4

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 5

 

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 6

1.

Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 7

2.

Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 8

3.

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 9

4.

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 10

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 11

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 12

Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

F2 - F1

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 13

F3 + F2

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 14

F2 - F3

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 15

F1 + F2

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 16

(-1) F2

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 17

La matriz inversa es:

Explicaciones y ejemplos de matriz inversa - 18

 

Propiedades de la matriz inversa

(A · B)-1  = B-1 · A-1

(A-1)-1  = A

(k · A)-1  = k-1 · A-1

(A t)-1  = (A -1)t