Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 1

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 2

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 3

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 4

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 5

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 6

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 7

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 8

f(x) = x2 en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 9

En x = 0 la función es continua y derivable.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 10

Dada la función:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 11

¿Para qué valores de a es derivable?

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 12

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 13

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 14

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 15

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 16

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 17

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 18

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 19

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 20

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 21

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 22

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 23

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 24

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 25

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 26

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 27

Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 28

Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.

Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 29

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 30

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 31

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 32

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 33

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 34

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 35

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 36

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 37

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 38

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 39

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 40

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 41

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 42

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 43

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 44

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 45

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 46

Explicaciones y ejemplos de derivabilidad - 47

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.