Regla de integración para la función tangente

En este artículo nos enfocaremos en repasar la regla de integración para la función tangente.

Para identificar si podemos aplicar la regla de integración en una función, es conveniente hacer uso de las identidades trigonométricas cuando sea necesario, de tal manera que la integral se exprese de alguna de las siguientes formas:

\int \textup{tan}(x)dx= \int \frac{1}{\textup{cot}(x)}dx=\int \frac{\textup{sin}(x)}{\textup{cos}(x)}dx= -\textup{In}|cos(x)|+C

Además, es conveniente recordar que el resultado de calcular la integral nos devuelve una familia de funciones cuya derivada es la función tangente, como se puede observar en la siguiente gráfica:

Gráfica de la función tangente y sus integrales
En rojo se muestran algunas de las funciones cuya derivada es la función tangente
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Ejercicios para calcular la integral de la función tangente

1 Calcula \int \frac{5 \;\textup{sin}(x)}{3\;\textup{cos}(x)}dx

Recordemos que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, por lo cual podemos reesccribir la integral de la siguiente forma:

\int \frac{5 \;\textup{sin}(x)}{3\;\textup{cos}(x)}dx=  \frac{5}{3} \int \frac{\textup{sin}(x)}{\textup{cos}(x)}dx=  \frac{5}{3} \int \textup{tan}(x)}= -\frac{5}{3}\textup{In}|cos(x)|+C

2 Calcula  \int \textup{tan}(5x)dx

Utilizando que \int\textup{tan}(5x)dx se puede expresar como \int \frac{\textup{sin}(5x)}{\textup{cos}(5x)}dx reescribimos la integral:

 \int\textup{tan}(5x)dx=\int\frac{\textup{sin}(5x)}{\textup{cos}(5x)}dx

Hacemos un cambio de variable sustituyendo u=\textup{cos}(5x) con lo cual du=5\textup{sin}(5x) :

=\int -\frac{1}{5} \frac{du}{u}

=-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u}

Calculamos la integral:

=-\frac{1}{5}\textup{In}|u|+C

Finalmente, deshacemos el cambio de variable:

=-\frac{1}{5}\textup{In}(|cos(5x)|)+C

 

3 Calcula \int \frac{\pi}{\textup{cot}(x)}dx

Utilizando que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función podemos reesccribir la integral de la siguiente forma:

\int \frac{\pi}{\textup{cot}(x)}dx=\pi\int\frac{1}{\textup{cot}(x)}dx=-\pi \textup{In}(|cos(x)|)+C

4 Calcula \int\textup{tan}^2(x)\cdot\textup{cot}(x) dx

En este caso la relación entre la cotangente y la tangente simplifica  la integral, pues recordemos que \textup{cot}(x)=\frac{\textup{cos}(x)}{\textup{sin}(x)} y \textup{tan}(x)=\frac{\textup{sin}(x)}{\textup{cos}(x)}

\int\textup{tan}^2(x)\cdot\textup{cot}(x) dx=\int\textup{tan}(x) dx=-\textup{In}(|cos(x)|)+C

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗