Dada un función u(x) podemos obtener que la función {\rm arc sen}(u(x)) es igual a la siguiente integral

    $$\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}={\rm arcsen}(u(x))+C.$$

En caso particular de u(x)=x obtenemos que

    $$\int\cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}{\rm dx}={\rm arcsen}(x)+C.$$

A continuación presentamos un serie de ejemplos que ilustran como calcular dicha integral.

1
\int\cfrac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}{\rm dx}

Notemos que en este caso particular u(x)=x^{2}, por lo tanto u'(x)=2x. Con esta información podemos desarrollar la integral

    $$\int\cfrac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}{\rm dx}=\cfrac{2}{2}\int\cfrac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}{\rm dx}=\cfrac{1}{2}\int\cfrac{2x}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}{\rm dx}=$$

    $$\cfrac{1}{2}\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}=\cfrac{1}{2}{\rm arcsen}(u(x))+C=\cfrac{1}{2}{\rm arcsen}(x^{2})+C$$

2
\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{\sqrt{1-{\rm e}^{2x}}}{\rm dx}

Notemos que en este caso particular u(x)={\rm e}^{x}, por lo tanto u'(x)={\rm e}^{x}. Con esta información podemos desarrollar la integral

    $$\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{\sqrt{1-{\rm e}^{2x}}}{\rm dx}=\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{\sqrt{1-({\rm e}^{x})^{2}}}{\rm dx}=\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}=$$

    $${\rm arcsen}(u(x))+C={\rm arcsen}({\rm e}^{x})+C.$$

3

\int\cfrac{1}{x\sqrt{1-{\rm ln}(x)^{2}}}{\rm dx}

Notemos que en este caso particular u(x)={\rm ln}(x), por lo tanto u'(x)=\cfrac{1}{x}. Con esta información podemos desarrollar la integral

    $$\int\cfrac{1}{x\sqrt{1-{\rm ln}(x)^{2}}}{\rm dx}=\int\cfrac{1}{x}\cfrac{1}{\sqrt{1-{\rm ln}(x)^{2}}}{\rm dx}=\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}=$$

    $${\rm arcsen}(u(x))+C={\rm arcsen}({\rm ln}(x))+C$$

4
\int\cfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}{\rm dx}

Notemos que en este caso particular u(x)=\sqrt{x}, por lo tanto u'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}. Con esta información podemos desarrollar la integral

    $$\int\cfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}{\rm dx}=\cfrac{2}{2}\int\cfrac{1}{\sqrt{x}}\cfrac{1}{\sqrt{1-x}}{\rm dx}=2\int\cfrac{1}{2\sqrt{x}}\cfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}{\rm dx}=$$

    $$2\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}=2{\rm arcsen}(u(x))+C=2{\rm arcsen}(\sqrt{x})+C$$

5
\int\cfrac{1}{\sqrt{25-16x^{2}}}{\rm dx}

Notemos que en este caso particular u(x)=\cfrac{4}{5}x, por lo tanto u'(x)=\cfrac{4}{5}. Con esta información podemos desarrollar la integral

    $$\int\cfrac{1}{\sqrt{25-16x^{2}}}{\rm dx}=\int\cfrac{\cfrac{1}{5}}{\sqrt{1-\left(\cfrac{4}{5}x\right)^{2}}}{\rm dx}=\cfrac{1}{4}\int\cfrac{\cfrac{4}{5}}{\sqrt{1-\left(\cfrac{4}{5}x\right)^{2}}}{\rm dx}=$$

    $$\cfrac{1}{4}\int\cfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}{\rm dx}=\cfrac{1}{4}{\rm arcsen}(u(x))+C=\cfrac{1}{4}{\rm arcsen}\left(\cfrac{4}{5}x\right)+C$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗