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Área bajo la curva de una función que toma valores positivos
Si la función toma valores positivos en un intervalo 
entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje 
, haciendo 
y resolviendo la ecuación.
2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
Ejemplos de áreas limitadas por funciones positivas
y el eje En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.
y 
Calculamos la integral:
entre el punto de corte con el eje y el punto de abscisa 
. 
Aplicando la exponencial de ambos lados
ya que 
finalmente el punto de corte es 
Ahora vamos a encontrar el área bajo la curva por medio de la siguiente integral, por el método de integración por partes, es decir, 
:
Entonces,
Área bajo la curva de una función que toma valores negativos
Si la función toma valores negativos en un intervalo entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
Ejemplos de áreas limitadas por funciones negativas
y el eje En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.
y
Calculamos la integral:
y el eje entre 
y 
.
Resolvemos la integral:
Área de una función que toma valores positivos y negativos
En ese caso el área tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1 Se calculan los puntos de corte con con el eje , haciendo y resolviendo la ecuación.
2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplo
y el eje . para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos. 
y
Observando la gráfica tenemos que calcular dos integrales una para la función que toma valores positivos en el intervalo 
y otra para la función que toma valores negativos en el intervalo 
.
La gráfica es simétrica, por lo tanto el área se puede escribir como:
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Calcular el área del círculo de radio r
Partimos de la ecuación de la circunferencia 
.
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable:
Entonces,
Hallamos los nuevos límites de integración.
Finalmente,
Cómo la gráfica es simétrica:
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.