Área bajo la curva de una función que toma valores positivos

 

Si la función toma valores positivos en un intervalo {[a, b]} entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

{A = \int^b_af(x)dx}

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1 Se calculan los puntos de corte con con el eje {OX}, haciendo {f(x) = 0} y resolviendo la ecuación.

 

2 El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

 

Ejemplos de áreas limitadas por funciones positivas

 

1 Calcular el área limitado por la curva {y = 4x - x^2} y el eje {OX}

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje {OX} para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.

 

{0 = 4x - x^2}

{0 = x(4 - x)}

{x = 0} y {x = 4}

 

Área bajo la curva de una parábola hacia abajo

 

Calculamos la integral:

{A = \int^4_0 (4x - x^2)dx = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]^4_0= 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}u^2}


2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva {y = \ln x} entre el punto de corte con el eje {OX} y el punto de abscisa {x = e}.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas, es decir, igualamos a cero la función.{\ln x = 0}

Aplicando la exponencial de ambos lados

{e^{\ln x} = e^0}

{x = 1}

ya que {e^0 = 1}

finalmente el punto de corte es {(1,0)}

 

Área bajo la curva de una función logaritmo

Ahora vamos a encontrar el área bajo la curva por medio de la siguiente integral, por el método de integración por partes, es decir, {\int u(x)\cdot v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx}:
{\int^e_1 \ln x dx}

{u = \ln x \quad u' = \frac{1}{x}dx}

{v' = dx \quad v = x}

{\int \ln x dx = x\ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx = x\ln x - \intdx = x\ln x - x + C = x(\ln -1) + C}

Entonces,

{\int^e_1 \ln x dx = \left[ x(\ln x - 1) \right]^e_1 = e(\ln e - 1) - 1(\ln 1 - 1) =}

{e(1-1) - 1( 0 - 1) = 0 + 1 = 1u^2}

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Área bajo la curva de una función que toma valores negativos

 

Si la función toma valores negativos en un intervalo {[a, b]} entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

 

{A = \int^b_a f(x)dx \quad \left|A \right| = \left| \int^b_a f(x)dx \right|}

 

Ejemplos de áreas limitadas por funciones negativas

 

1 Calcular el área limitado por la curva {y = x^2 - 4x} y el eje {OX}

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje {OX} para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos.

 

{0 = x^2 - 4x}

{0 = x(x - 4)}

{x = 0} y {x = 4}

 

Área bajo la curva de una parábola hacia arriba

 

Calculamos la integral:

{A = \int^4_0 (x^2 - 4x)dx = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2\right]^4_0 = \frac{(4)^3}{3} - 2(4)^2 = \frac{64}{3} -32 = -\frac{32}{3}}

{\left|A \right| = \frac{32}{3}u^2}


2 Hallar el área limitada por la curva {y = \cos x} y el eje {OX} entre {\frac{\pi}{2}} y {\frac{3\pi}{2}}.

Área bajo la curva de la función conseno

 

Resolvemos la integral:

{A = \int^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = -1-1 = -2}

{\left|A \right| = -2 u^2}

Área de una función que toma valores positivos y negativos

 

Área bajo la curva dividida en dos intervalos

 

En ese caso el área tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Se calculan los puntos de corte con con el eje {OX}, haciendo {f(x) = 0} y resolviendo la ecuación.

 

2 Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

 

3 El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

 

Ejemplo

 

2 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva {f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x} y el eje {OX}.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje {OX} para representar la curva y conocer los límites de integración, es decir, igualamos la función a cero y las resolvemos. 

{x^3 - 6x^2 + 8x = 0}

{x(x^2 - 6x + 8) = 0}

{x(x-4)(x-2) = 0}

{x = 0, x = 2} y {x = 4}

 

Área bajo la curva de una función simétrica

 

Observando la gráfica tenemos que calcular dos integrales una para la función que toma valores positivos en el intervalo {[0,2]} y otra para la función que toma valores negativos en el intervalo {[2, 4]}.
{A = \int^2_0 (x^3 - 6x^2 + 8x) dx + \left| \int^4_2 (x^3 - 6x^2 + 8x)dx\right|}

La gráfica es simétrica, por lo tanto el área se puede escribir como:
{A = 2\int^2_0 (x^3 - 6x^2 + 8x) dx = 2\left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2\right]^2_0 = }

{2\left[ \frac{(2)^4}{4} - 2(2)^3 + 4(2)^2\right] = 2(4 - 16 + 16) = 8u^2}

 

Área comprendida entre dos funciones

 

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

 

Área bajo la curva entre dos funciones  Área bajo la curva entre dos funciones

{\int^b_a [g(x) - f(x)] dx}
 

Calcular el área del círculo de radio r

 

Partimos de la ecuación de la circunferencia {x^2 + y^2 = r^2}.

 

Área delimitada por un círculo

 

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

 

{A_1 = \int^r_0 \sqrt{r^2 - x^2}dx}

 

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable:

 

{\int \sqrt{r^2 - x^2}dx}

 

{x = r\sin t \quad dx = r\cos t dt}

Entonces,

{\int^r_0 \sqrt{r^2 - x^2}dx = \int \sqrt{r^2 - r^2\sin^2t} \cdot r\cos tdt = \int \sqrt{r^2(1 - \sin^2 t)}\cdot r \cos tdt =}

 

{\int r^2 \cos^2 tdt = r^2 \int \cos^2tdt = r^2\int \dfrac{1 + \cos 2t}{2} dt = r^2 \left[\frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t \right] + C}

 

Hallamos los nuevos límites de integración.

 

{x = 0 \quad 0 = r\sin t \quad \sin t = 0 \quad t=0}

{x = r \quad r = r\sin t \quad \sin t = 1 \quad t=\frac{\pi}{2}}

Finalmente,

{A_1 = r^2\left[ \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t\right]^{\frac{\pi}{2}}_0 = r^2\left( \frac{\pi}{4} - 0\right) = \frac{1}{4}\pi r^2}

Cómo la gráfica es simétrica:

{A = 4A_1 = 4\left(\frac{1}{4}\pi r^2\right) = \pi r^2}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗