Definición de integrales de potencias

Comenzamos con dos definiciones de integrales de potencias, dónde la primera es una integral inmediata y la segunda es una integral de potencia con cambio de variable.

1{\int x^ndx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C }

2{\int u^n\cdot u'dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad n\neq -1}

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Vamos

Ejemplos propuestos de integrales de potencias

1 {\int \dfrac{1}{x^2\sqrt[5]{x^2}}dx}

Comenzamos pasando las variables al numerados por medio de la regla {a^{-n} = \frac{1}{a^n}}, convertimos la raíz a exponente {\sqrt[m]{a^n} = a^{n/m}}, luego aplicamos la propiedad {a^n\cdot a^m = a^{n+m}}, finalmente aplicamos la fórmula de la integral de potencias.

{\int \dfrac{1}{x^2\sqrt[5]{x^2}}dx = \int x^{-2}x^{-\frac{2}{5}}dx = \int x^{-\frac{12}{5}}dx = \dfrac{x^{-\frac{12}{5} + 1}}{-\frac{12}{5} + 1} + C = }

{\dfrac{x^{-\frac{7}{5}}}{-\frac{7}{5}} + C = -\dfrac{5}{7\sqrt[5]{x^7}} + C}


2{\int (x+2)^3dx}

Comenzamos con un cambio de variable {u = x + 2 \quad du = dx} y aplicando la integral de potencias:

{\int (x+2)^3dx = \frac{1}{4}(x+2)^4 + C}


3 {\int (2x+1)(x^2+x+1)dx}

Haciendo el cambio de variable {u = x^2+x+1 \quad du = 2x+1} y aplicando la integral de potencias:

{\int (2x+1)(x^2+x+1)dx = \frac{1}{2}(x^2 +x+1)^2 +C}


4 {\int \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^2+2x+7}}dx}

Comenzando con un cambio de variable {u = x^2+2x+7 \quad du=2x+2} y aplicando la integral de potencias:

{\int \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^2+2x+7}}dx = \frac{1}{2}\int 2\cdot(x+1)(x^2+2x+7)^{-\frac{1}{3}}dx }
{= \frac{1}{2}\dfrac{(x^2+2x+7)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{4} \sqrt[3]{(x^2+2x+7)^2} + C}


5 {\int \sin 2x \cos 2x dx}

Haciendo el cambio de variable {u = \sin 2x \quad du = 2\cos 2x} y aplicando la integral de potencias:

{\int \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2}\int \sin 2x \cos 2x \cdot 2dx = \frac{1}{4} \sin^22x + C}


6 {\int \sin^4x\cos xdx}

Haciendo un cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos x} y aplicando la integral de potencias:

{\int \sin^4x\cos xdx = \frac{1}{5} \sin ^5x + C}


7 {\int tg^2x sec^2xdx}

Haciendo un cambio de variable {u = tg x \quad du = sec^2x} y aplicando la integral de potencias:

{\int tg^2x sec^2xdx = \frac{1}{3}tg^3x + C}


8 {\int \dfrac{arctg x}{1 + x^2}dx}

Haciendo el cambio de variable {u = arctg x \quad du = \dfrac{1}{1+x^2}} y aplicando la integral de potencias:

{\int \dfrac{arctg x}{1 + x^2}dx = \frac{1}{2}(arctg x)^2 + C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗