Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada

Geométricamente la derivada de una función f(x) en un punto a es la pendiente de la recta

tangente a  f(x)  que pasa por el punto  a.

Siguiendo la figura: consideramos dos puntos  P  y  Q,  trazamos la recta secante entre ellos. Esta secante forma un ángulo  \alpha  con la horizontal. Dado que deseamos hallar la pendiente de la recta tangente, notemos que dicho valor es {\rm tg}(\beta), donde
\beta  es el ángulo entre el eje de las  x  y la recta tangente.

Volviendo al ángulo \alpha, tenemos que

    $${\rm tg}(\alpha)=\cfrac{\Delta y}{h},$$

donde \Delta y=f(a+h)-f(a).

derivada y recta tangente

Cuando el valor  h  tiende a  0,  el punto  Q  tiende a confundirse con el punto  P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función  f(x)  en  P,  y por tanto el ángulo \alpha tiende a ser  \beta.

Por lo tanto se sigue que

    $$f'(a)={\rm tg}(\beta)=\cfrac{\Delta y}{h}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Ejemplos

1 Dada  f(x)=x^{2},  calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

[La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es  y = x,  por tanto su pendiente es  m= 1.Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

    $$f'(a)=1.$$

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

    $$1=f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\cfrac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=$$

[latex]$$\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{2ah+h^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}2a+h=2a.$$[/latex]Por lo tanto se sigue que  a=\cfrac{1}{2}  y al evaluar en la función se tiene que el punto buscado es  P(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{4}).

Derivada de una parabola

 

2 Dada la curva de ecuación  f(x)=2x^{2}-3x-1,  halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje  ox  un ángulo de  45^{\circ}.

De la interpretación geométrica de la derivada tenemos que

    $$f'(x)={\rm tg}(45^{\circ})=1.$$

Ahora, de la fórmula para la derivada debemos depejar el valor de x.[latex]$$1=f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{2(x+h)^{2}-3(x+h)-1-2x^{2}+3x+1}{h}=$$[/latex]

    $$1=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h-1-2x^{2}+3x+1}{h}=$$

[latex]$$1=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{h(4x+2h-3)}{h}=$$[/latex]

    $$1=4x-3.$$

Así x=1, finalmente evaluando en la función se sigue que

    $$f(1)=2(1)^{2}-3(1)-1=-2$$

y el punto buscado es P(1,-2).

3 Determinar los valores del parámetro  b,  para qué las tangentes a la curva de la función  f(x) = b^{2}x^{3} + bx^{2} + 3x + 9  en los puntos de abscisas  x = 1, x = 2  sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en  x = 1  y  x = 2  sean iguales.La derivada de la función  f(x)  es

    $$f'(x)=3b^{2}x^{2}+2bx+3.$$

De esta forma,

    $$3b^{2}(1)^{2}+2b(1)+3=f'(1)=f'(2)=3b^{2}(2)^{2}+2b(2)+3,$$

[latex]$$3b^{2}+2b+3=12b^{2}+4b+3,$$[/latex]

    $$9b^{2}+2b=0.$$

Esto último implica que b=0 ó b=-\cfrac{2}{9}.

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Interpretación física de la derivada

 

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido  \Delta_{e}  y el tiempo transcurrido  \Delta_{t}.

Si la trayectoria es guiada por una función  e(x)  y consideramos un tiempo transcurrido  \Delta t,  tenemos la siguiente formula para la velocidad media

    $$V_{m}(t)=\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\cfrac{e(t+\Delta t)-e(t)}{\Delta t}.$$

Interpretación física de la derivada

 

Velocidad instantánea

 

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando  \Delta t  tiende a cero, es

decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

    $$V(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}V_{m}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\cfrac{\Delta_{e}}{\Delta_{t}}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\cfrac{e(t+\Delta t)-e(t)}{\Delta t}.$$

Velocidad instantanea y la derivada

 

Ejemplos

 

1 La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es  e(t) = 6t^{2}. Calcular:

a) La velocidad media entre  t = 1  y  t = 4.

b) La velocidad instantánea en  t = 1.

 

a) La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo  [1, 4].[latex]$$V_{m}=\cfrac{e(4)-e(1)}{4-1}=\cfrac{6(4)^2-6(1)^{2}}{3}=\cfrac{96-6}{3}=30m/s.$$[/latex]b) La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.[latex]$$V=e'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{6(1+h)^{2}-6(1)^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{6+12h+h^{2}-6}{h}=$$[/latex]

    $$\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{12h+h^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}12+h=12m/s$$

2 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación  e(t) = 2-3t^{2}  en el quinto segundo de su recorrido?

 

El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
Solo debemos calcular la velocidad instantanea en el instante  t=5,[latex]$$V(5)=e'(5)=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{2-3(5+h)^{2}-2+3(5)^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{-30h-3h^{2}}{h}=$$[/latex]

    $$\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{h(-30-3h)}{h}=-30m/s.$$

3 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función  p(t) = 5000+100t^{2},  siendo  t  el tiempo medido en horas. Se pide:

a) La velocidad media de crecimiento.

b) La velocidad instantánea de crecimiento.

c) La velocidad de crecimiento instantáneo para  t_{0} = 10 horas.

 

a) Ésta se encuentra descrita por la siguiente fórmula

    $$V_{m}=\cfrac{p(t+h)-p(t)}{h}=\cfrac{5000+100(t+h)^{2}-5000-100t^{2}}{h}=$$

[latex]$$=200t-100h.$$[/latex]b)Está dada por el siguiente limite

    $$V=p'(t)=\lim_{\h\rightarrow0}\cfrac{p(t+h)-p(t)}{h}=\cfrac{5000+100(t+h)^{2}-5000-100t^{2}}{h}=$$

    $$\lim_{\h\rightarrow0}\cfrac{200t-100h}{h}=200t.$$

c) Solo debemos evaluar la fórmula anterior en  t_{0}=10, lo que nos da

    $$V(10)=p'(10)=200\cdot 10=2000.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗