Interpretación geométrica de la derivada
Geométricamente la derivada de una función 
en un punto 
es la pendiente de la recta
tangente a que pasa por el punto 
Siguiendo la figura: consideramos dos puntos 
y 
trazamos la recta secante entre ellos. Esta secante forma un ángulo 
con la horizontal. Dado que deseamos hallar la pendiente de la recta tangente, notemos que dicho valor es 
, donde
es el ángulo entre el eje de las 
y la recta tangente.
Volviendo al ángulo , tenemos que
donde 
Cuando el valor 
tiende a 
el punto 
tiende a confundirse con el punto 
Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función en 
y por tanto el ángulo tiende a ser 
Por lo tanto se sigue que
Ejemplos
Dada 
calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
[La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es 
por tanto su pendiente es 
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto 
.
Por lo tanto se sigue que 
y al evaluar en la función se tiene que el punto buscado es 
Dada la curva de ecuación 
halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje 
un ángulo de 
De la interpretación geométrica de la derivada tenemos que
Ahora, de la fórmula para la derivada debemos depejar el valor de 
Así 
, finalmente evaluando en la función se sigue que
y el punto buscado es
Determinar los valores del parámetro 
para qué las tangentes a la curva de la función 
en los puntos de abscisas 
sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en 
y 
sean iguales.La derivada de la función es
De esta forma,
Esto último implica que 
ó 
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido 
y el tiempo transcurrido 
Si la trayectoria es guiada por una función 
y consideramos un tiempo transcurrido 
tenemos la siguiente formula para la velocidad media
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando 
tiende a cero, es
decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
Ejemplos
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es 
. Calcular:
a) La velocidad media entre 
y 
b) La velocidad instantánea en 
a) La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo 
b) La velocidad instantánea es la derivada en 
¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación 
en el quinto segundo de su recorrido?
El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos. Solo debemos calcular la velocidad instantanea en el instante 
Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función 
siendo 
el tiempo medido en horas. Se pide:
a) La velocidad media de crecimiento.
b) La velocidad instantánea de crecimiento
c) La velocidad de crecimiento instantáneo para 
horas.
a) Ésta se encuentra descrita por la siguiente fórmula
b)Está dada por el siguiente limite
c) Solo debemos evaluar la fórmula anterior en 
lo que nos da
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La descripcion es erronea donde da la derivada de arcocotangente, ya que dice derivada de arcotangete, se comieron el co, lo que puede llevar a confunciones, como en mi caso que pense que era la derivada de la inversa de tangente, cuando era la derivada de la inversa de cotangente.
Hola entendemos la confusión, pero como sabes en cada lugar toman la notación en forma diferente, en este caso se tomo arccot(x) donde se repite la c para diferenciar de arctan(x).
me pueden ayudar encontrar la derivada de : y=7 elevado a la 4 + e elevado a la x-4 – ln X + 100
Medio tarde me parece mi respuesta, pero simplemente tenes que derivar cada termino independientemente:
7^4=(7.4)^3
e^x-4=e^x-4 (por formula)
lnx=1/x
100=0 (Derivando una constante en terminos de x)
Excelente contenido. Creo es posible mejorar el contenido para que sea más didáctico con más ejemplos, partiendo de lo elemental a lo complejo, para que el texto pueda ser más entendible para estudiantes de secundaria en Costa Rica.
Excelente artículo y muy dinámico.
Agradecemos tu comentario, la verdad estamos trabajando mucho para lograr tener las mejores explicaciones para que sea mas entendible al publico y para ello lo que ustedes recomienden nos ayuda en gran forma, esperamos que en un futuro seamos mejores siguiendo sus sugerencias, otra vez gracias.
Hola podrías hacernos el favor de mostrarnos la función para dar una mejor explicación.