Integrales logarítmicas
El logaritmo natural de un número positivo 
, escrito como 
es el valor de una integral 
con 
.
La gráfica de la función 
es:
Su inversa es la función 
cuya gráfica es:
Fórmulas para integrales logarítmicas
Cuando tienes 
no puedes integrar usando la fórmula de potencia, entonces consideras que 
que es la derivada de y así que llegamos a la primera fórmula. La segunda es la forma de una composición de funciones que involucra a 
que es una función que depende de y como el resultado es un logaritmo se llaman integrales logarítmicas.
1
2
Ejemplo de aplicación:
Se tiene un cultivo con una cantidad 
de bacterias, al pasar una hora el número de bacterias es de 
. Si la razón en la que se reproducen es proporcional al número de bacterias, ¿cuál es la función de la solución? Con base en los datos se tiene
Aquí usamos la primera fórmula
Por lo tanto usamos la primera fórmula para resolver el problema y saber el número de bacterias con respecto al tiempo.
Resuelve las siguientes integrales:
.
Como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos: 
entonces 
Por lo tanto
Primero cambiamos 
como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos
, entonces 
Por lo tanto
Como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos 
, entonces 
Por lo tanto
Como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos 
, entonces 
Por lo tanto
Como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos
, entonces 
Por lo tanto
Haciendo la división de 
tenemos
Primero cambiamos la expresión usando técnicas de fracciones y de complementar usando el cero tenemos 
ahora usamos este resultado y la segunda fórmula e integramos
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Fe de erratas:
Ej. 3: sobra una raíz de x en el denominador antes del
Resultado final.
Ej.4: En el resultado final falta el signo menos.
Un saludo.
Hola revise los ejemplos de muchas ejercicios y no encontré los errores, podrías hacerme el favor de darme mas detalles para poder encontrarlos y quitar esos errores, seria de mucha ayuda.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.