Integrales logarítmicas
El logaritmo natural de un número positivo 
, escrito como 
es el valor de una integral 
con 
.
La gráfica de la función 
es:
Su inversa es la función 
cuya gráfica es:
Fórmulas para integrales logarítmicas
Cuando tienes 
no puedes integrar usando la fórmula de potencia, entonces consideras que 
que es la derivada de y así que llegamos a la primera fórmula. La segunda es la forma de una composición de funciones que involucra a 
que es una función que depende de y como el resultado es un logaritmo se llaman integrales logarítmicas.
1
2
Ejemplo de aplicación:
Se tiene un cultivo con una cantidad 
de bacterias, al pasar una hora el número de bacterias es de 
. Si la razón en la que se reproducen es proporcional al número de bacterias, ¿cuál es la función de la solución? Con base en los datos se tiene:
Aquí usamos la primera fórmula
Por lo tanto usamos la primera fórmula para resolver el problema y saber el número de bacterias con respecto al tiempo.
Resuelve las siguientes integrales:
1
.
entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos: 
entonces
Por lo tanto
2
como se puede notar el denominador es una función que depende de entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos
, entonces 
Por lo tanto
3
entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos 
, entonces 
Por lo tanto
4
entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos 
, entonces 
Por lo tanto
5
entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos
, entonces 
Por lo tanto
6
tenemos
7
ahora usamos este resultado y la segunda fórmula e integramos
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.