Integrales logarítmicas

El logaritmo natural de un número positivo x, escrito como lnx es el valor de una integral lnx=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt con x>0.

La gráfica de la función y=lnx es:

Gráfica de logaritmo natural.

Su inversa es la función y=e^{x} cuya gráfica es:

 

Función exponencial

Fórmulas para integrales logarítmicas

Cuando tienes x^{-1} no puedes integrar usando la fórmula de potencia, entonces consideras que x^{-1}=\frac{1}{x} que es la derivada de lnx y así que llegamos a la primera fórmula. La segunda es la forma de una composición de funciones que involucra a u(x) que es una función que depende de x y como el resultado es un logaritmo se llaman integrales logarítmicas.

 

1\int \frac{1}{x}\cdot dx=lnx+C
2\int \frac{u{}'(x)}{u}\cdot dx=lnu+C

Ejemplo de aplicación:

Se tiene un cultivo con una cantidad N_{0} de bacterias, al pasar una hora el número de bacterias es de \frac{5}{2}N_{0}. Si la razón en la que se reproducen es proporcional al número de bacterias, ¿cuál es la función de la solución? Con base en los datos se tiene:
\frac{dN_{0}}{dt}=kN_{0}
\frac{dN_{0}}{N_{0}}=kdt
\int \frac{dN_{0}}{N_{0}}=\int kdt

 

Aquí usamos la primera fórmula
ln N_{0}=kt+C_{1}
e^{kt+C_{1}}=N_{0}
N_{0}(t)=Ce^{kt}
Por lo tanto usamos la primera fórmula para resolver el problema y saber el número de bacterias con respecto al tiempo.

Resuelve las siguientes integrales:

1\int \frac{2x}{1+x^{2}}\cdot dx.

Como se puede notar el denominador es una función que depende de x entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos: u=1+x^{2}
entonces u{}'=2x
Por lo tanto
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\cdot dx=\int \frac{u{}'}{u}\cdot dx=lnu+C=ln(1+x^{2})+C

2\int tgx\cdot dx

Primero cambiamos tgx=\frac{senx}{cosx} como se puede notar el denominador es una función que depende de x entonces vamos a usar la segunda fórmula  y tomamos
u=cosx, entonces u{}'=-senx
Por lo tanto
\int tgx\cdot dx=\int \frac{senx}{cosx}\cdot dx=-\int \frac{-senx}{cosx}\cdot dx=-\int \frac{u{}'}{u}\cdot dx
=-lnu+C=-ln\left ( cosx \right )+C

3\int \frac{5^{3x}}{5^{3x}+7}\cdot dx

Como se puede notar el denominador es una función que depende de x entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos u=5^{3x}+7, entonces u{}'=3\cdot 5^{3x}ln5
Por lo tanto
\int \frac{5^{3x}}{5^{3x}+7}\cdot dx=\frac{1}{3}\frac{1}{ln5}\int \frac{3\cdot 5^{3x}ln5}{5^{3x}+7}\cdot dx=
=\frac{1}{3ln5}\int \frac{u{}'}{u}\cdot dx=\frac{1}{3ln5}lnu+C=\frac{1}{3ln5}ln\left ( 5^{3x} +7\right )+C

4\int \frac{1}{x\cdot lnx}\cdot dx

Como se puede notar el denominador es una función que depende de x entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamos u=lnx, entonces u{}'=\frac{1}{x}
Por lo tanto
\int \frac{1}{x\cdot lnx}\cdot dx=\int \frac{\frac{1}{x}}{lnx}\cdot dx=\int \frac{u{}'}{u}\cdot dx=lnu+C=ln\left ( lnx \right )+C

5\int \frac{1}{cos^{2}x\cdot tgx}\cdot dx

Como se puede notar el denominador es una función que depende de x entonces vamos a usar la segunda fórmula y tomamosu=tgx, entonces u{}'=\frac{1}{cos^{2}x}
Por lo tanto
\int \frac{1}{cos^{2}x\cdot tgx}\cdot dx=\int \frac{\frac{1}{cos^{2}x}}{tgx}\cdot dx=\int \frac{u{}'}{u}\cdot dx=lnu+C=ln\left ( tgx \right )+C

6\int \frac{x+1}{x}\cdot dx

Haciendo la división de \frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x} tenemos
\int \frac{x+1}{x}\cdot dx=\int \left ( 1+\frac{1}{x} \right )\cdot dx=\int dx+\int \frac{1}{x}\cdot dx=x+lnx+C

7\int \frac{x+1}{x-5}\cdot dx

Primero cambiamos la expresión usando técnicas de fracciones y de complementar usando el cero tenemos \frac{x+1}{x-5}=\frac{x+0+1}{x-5}=\frac{x+5-5+1}{x-5}=\frac{x-5+6}{x-5}=\frac{x+5}{x-5}+\frac{6}{x-5}=1+\frac{6}{x-5} ahora usamos este resultado y la segunda fórmula e integramos
\int \frac{x+1}{x-5}\cdot dx=\int \left ( 1+\frac{6}{x-5} \right )dx=\int dx+6\int \frac{1}{x-5}\cdot dx=x+6ln\left ( x-5 \right )+C

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗