Fórmula de la derivada del seno

 

Consideremos la función f(x) = \sin x, entonces su derivada está dada por

 

\displaystyle f'(x) = \cos x

 

Si consideramos que el argumento es una función u(x), es decir, f(x) = \sin \left( u(x) \right), entonces la derivada es

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \sin u \right] = \cos u \cdot u'

 

para poder utilizar la regla de la cadena.

 

Demostración: Para demostrar que la derivada del seno es el coseno, debemos recordar dos límites notables:

 

\displaystyle \lim_{h \to 0}{\frac{\cos h - 1}{h}} = 0

 

y

 

\displaystyle \lim_{h \to 0}{\frac{\sin h}{h}} = 1

 

Con esto, ya podemos encontrar el límite de f(x) = \sin x utilizando la definición. Utilizaremos la identidad de la suma de ángulos para el seno:

 

\displaystyle \sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h

 

por lo que la derivada es:

 

    \begin{align*} f'(x) = \lim_{h \to 0}{} & = \lim_{h \to 0}{\frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}}\\& = \lim_{h \to 0}{\frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}}\\& = \lim_{h \to 0}{\left[ \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right]}\\& = \sin x \left[ \lim_{h \to 0}{\frac{\cos h - 1}{h}} \right] + \cos x \left[ \lim_{h \to 0}{\frac{\sin h}{h}} \right]\\& = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1\\& = \cos x\end{align*}

 

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Ejemplos

 

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

 

1 f(x) = \sin 4x

 

Aquí debemos utilizar la regla de la cadena con u(x) = 4x, por lo que u'(x) = 4 y

 

\displaystyle f'(x) = 4\cos 4x

 

2 f(x) = \sin \tfrac{1}{2}x

 

Al igual que en el ejemplo anterior, utilizamos la regla de la cadena. En este caso u(x) = x/2 y u'(x) = 1/2. Por lo tanto,

 

\displaystyle f'(x) = \tfrac{1}{2} \cos \tfrac{1}{2}x

 

3 f(x) = \sin x^4

 

Ahora el argumento del seno es u(x) = x^4. Tenemos que u'(x) = 4x^3 por lo que

 

\displaystyle f'(x) = 4x^3 \cos x^4

 

4 f(x) = \sin^4 x

 

Notemos que \sin^4 x = (\sin x)^4. Por tanto, debemos utilizar la regla de la cadena, pero utilizando u(x) = \sin x. De este modo:

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx}\left[ u^4 \right] = 4u^3 u'

 

Sin embargo, u(x) = \sin x y u'(x) = \cos x, por lo que

 

\displaystyle f'(x) = 4\sin^3 x \cos x

 

5 f(x) = \sqrt[3]{\sin x}

 

Al igual que en el caso anterior, tenemos una regla de la cadena donde u(x) = \sin x. Por tanto,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \sqrt[3]{u} \right] = \frac{d}{dx} \left[ u^{1/3} \right] = \tfrac{1}{3} u^{-2/3} u'

 

Luego, como u(x) = \sin x y u'(x) = \cos x, entonces

 

\displaystyle f'(x) = \tfrac{1}{3}\sin^{-2/3} x \cos x = \frac{\cos x}{3 \sin^{2/3}}

 

Por lo tanto, la derivada es

 

\displaystyle f'(x) = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}

 

6 f(x) = \sin^3 3x

 

Aquí tenemos doble composición. Podemos notar que u(x) = \sin 3x y que u'(x) = 3 \cos 3x (ahí utilizamos ya la regla de la cadena). Por tanto,

 

\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ u^3 \right] = 3u^2 u'

 

Por lo que

 

\displaystyle f'(x) = 3\sin^2 3x \cdot 3\cos 3x = 9 \sin^2 3x \cos 3x

 

7 f(x) = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}

 

A partir de este ejercicio ya no utilizaremos u(x) para denotar algunas funciones en la composición de estas. Por el contrario, iremos derivando y explicando cada paso:

 

    \begin{align*} f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} \right] & = \frac{1}{2}\left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} \left[\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right]\\& = \frac{1}{2}\left( \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right)^{1/2} \cdot \frac{d}{dx} \left[\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right]\\& = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{d}{dx} \left[\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right]\end{align*}

 

Donde sólo hemos derivado la raíz. Ahora, derivamos el cociente:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{d}{dx} \left[\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right]\\& = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{(1 + \sin x)(-\cos x) - (1 - \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\\end{align*}

 

Por último, simplificamos:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{(1 + \sin x)(-\cos x) - (1 - \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{-\cos x - \sin x \cos x - \cos x + \sin x \cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \cdot \frac{-2\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = -\sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2}\end{align*}

 

Todavía podemos simplificar un poco más:

 

    \begin{align*} f'(x) & = -\sqrt{ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} } \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2}\\& = -\cos x \sqrt{\frac{1 + \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^4}}\\& = -\cos x \sqrt{\frac{1}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)^3} }\\& = -\frac{\cos x}{\sqrt{(1 - \sin x)(1 + \sin x)(1 + \sin x)^2}}\\& = -\frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^2 x} (1 + \sin x) }\\& = -\frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2 x} (1 + \sin x)}\\& = -\frac{\cos x}{| \cos x | (1 + \sin x)}\end{align*}

 

que es lo más que podemos simplificar:

 

\displaystyle f'(x) = -\frac{\cos x}{|\cos x| (1 + \sin x)}

 

Debemos tener cuidado en no decir que \sqrt{\cos^2 x} = \cos x, ya que eso no es verdad.

 

8 f(x) = \sin \sqrt{\ln(1 - 3x)}

 

Para derivar esta función, observemos que

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{d}{dx} \left[ \sin \sqrt{\ln(1 - 3x)} \right]\\& = \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \sqrt{\ln(1 - 3x)} \right]\end{align*}

 

A partir de aquí sólo debemos repetir la regla de la cadena:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \sqrt{\ln(1 - 3x)} \right]\\& = \cos \sqrt{\ln(1 - 3x)} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\ln(1 - 3x)}} \cdot \frac{d}{dx}[ \ln(1 - 3x) ]\\& = \frac{\cos \sqrt{\ln(1 - 3x)}}{2 \sqrt{\ln(1 - 3x)}} \cdot \frac{-3}{1 - 3x}\\& = - \frac{3\cos \sqrt{\ln(1 - 3x)}}{2(1 - 3x)\sqrt{\ln(1 - 3x)}}\end{align*}

 

que es el resultado de la derivada.

 

9 f(x) = \sin^2(\cos 2x)

 

Utilizamos la regla de la cadena depetidamente:

 

    \begin{align*} f'(x) & = \frac{d}{dx} \left[ \sin^2(\cos 2x) \right]\\& = 2 \sin (\cos 2x ) \frac{d}{dx} \left[ \sin(\cos 2x) \right]\\& = 2 \sin(\cos 2x) \cos(\cos 2x) \frac{d}{dx} \left[ \cos 2x \right]\\& = 2 \sin(\cos 2x) \cdot \cos(\cos 2x) \cdot (-\sin 2x) \cdot 2\\& = -4\sin(\cos 2x) \cos(\cos 2x)\sin 2x\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗