Derivadas

Las derivadas

La derivada es uno de los conceptos más importantes en matemáticas. ¿Quieres saber qué son, su historia y sus aplicaciones? ¡Sigue leyendo!

¿Qué es la derivada de una función? Como seguramente sabrás, una función es la relación entre dos valores, en el cual un valor depende el otro. Existe una diferenciación entre varios valores, puesto que un valor (por ejemplo, X) cambia a causa de otro valor (por ejemplo, Y). La derivada es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función, según se modifique el valor de su variable independiente. En una gráfica ambos valores incrementan progresivamente, y de esta forma se ven alterados.

La derivada es el resultado del límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo cada vez más pequeño y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Se suele poner el ejemplo de un automóvil en movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos.

Un coche que realice un trayecto de 700 km entre las 10:00 y las 17:00, viaja a una velocidad media de 100 km/h, pero puede viajar a velocidades mayores o menores en distintos tramos del trayecto. Por ejemplo, si entre las 11:00 y las 11:30 recorre 40 km, su velocidad media en ese tramo es de 80 km/h. Para saber cuál es su velocidad instantánea a las 11:20, por ejemplo, hay que calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez más pequeños en torno a esta hora: entre las 11:15 y las 11:25, entre las 11:19 y las 11:21.

La derivada de la posición del vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

Así, el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Conceptos relacionados con las derivadas

• Cálculo diferencial: estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado. La derivada es el principal objeto de estudio en el cálculo diferencial.
• Variables independientes: representan insumos o causas, es decir, razones potenciales de variación. En un experimento, cualquier variable que el experimentador manipule puede denominarse variable independiente.
• Límite: formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.
• Recta tangente: la tangente​ a una curva en un punto P es una recta que toca a la curva solo en dicho punto, llamado punto de tangencia.
• Recta secante: es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.
• Cálculo infinitesimal (o simplemente cálculo): es el estudio del cambio y la continuidad, en la misma manera que la geometría estudia el espacio

Historia de las derivadas

El cálculo infinitesimal y los problemas que le dieron origen ya se empezaron a estudiar en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no fue hasta el siglo XVII cuando se dio con los métodos sistemáticos de resolución gracias a Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Pero ¿y las derivadas? ¿Cómo surgieron? Pues fueron origen de dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva y el Teorema de los extremos: máximos y mínimos. En su conjunto dieron lugar a lo que hoy en día conocemos como cálculo diferencial.

Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usar los infinitesimales y, durante el siglo XVII, se usaron cada vez más para resolver problemas de cálculos de tangentes (que darían origen al cálculo diferencial), áreas y volúmenes (que darían origen al cálculo integral). Posteriormente, los algoritmos usados se resumieron en lo que actualmente llamamos «derivada» e «integral» a finales del siglo XVII.

La historia reconoce a Isaac Newton y Gottfried Leibniz como los creadores del cálculo diferencial e integral. Mientras que ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación), Isaac Barrow demostró que la derivada y la integral son conceptos inversos.

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes mediante un algoritmo para derivar funciones algebraicas, mientras que Gottfried Leibniz formuló y desarrolló el cálculo diferencial. Además, este último es el inventor de los nombres de cálculo diferencial y cálculo integral y de diversos símbolos matemáticos, como el símbolo de derivada y el símbolo de la integral.

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas tienen aplicaciones muy variadas en una gran cantidad de áreas científicas, ya que es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología

Se aplican en los casos donde hay que medir la rapidez con la que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, la recta secante se convierte en una recta tangente.

Con esta interpretación, se pueden identificar muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, como por ejemplo la monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.

¿Te han dado ganas de seguir estudiando este concepto matemático tan importante? ¡No dudes en consultar todos los apartados relacionados con las derivadas y hacer ejercicios para practicar!