Marta

28 septiembre 2020

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¿Cómo podemos usar la programación lineal en la vida diaria?

La programación lineal se utiliza cuando buscamos la solución más óptima para un problema de la vida de cada día, considerando las restricciones. Para poder encontrar la solución, necesitamos formular un problema de la vida real usando un modelo matemático. En los próximos ejercicios de programación lineal, buscamos por una parte, la solución ideal para minimizar el coste de una empresa de transporte, y por la otra,  para minimizar el coste de una excursión de escuela.

Problemas de programación lineal

 

 1  Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de {20 \ m^3} y un espacio no refrigerado de {40 \ m^3}. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al {50 \%} de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de {3,000 \ m^3} de producto que necesita refrigeración y {4,000 \ m^3} de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de {30 \euro}€ y el B de {40 \euro}€. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

 

 1  Elección de las incógnitas.

{x =} camiones de tipo A

{y =} camiones de tipo B

 2  Función objetivo

{f(x,y) = 30x + 40y}

 3  Restricciones

ABTotal
Refrigerado20303 000
No refrigerado40304 000

{20x + 30y \geq 3 000}

{40x + 30y \geq 4 000}

{x \geq 0}

{y \geq 0}

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

representación gráfica conjunto de soluciones

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

representación gráfica conjunto de soluciones programación lineal

 6  Calcular el valor de la función objetivo

{f(0, 400/3) = 30 \cdot 0 + 40 \cdot 400/3 = 5 333.332}

{f(150, 0) = 30 \cdot 150 + 40 \cdot 0 = 4 500}

 

Como {x} e {y} han de ser números naturales redondeamos el valor de {y}.

{f(50, 67) = 30 \cdot 50 + 40 \cdot 67 = 4180}

 

Por defecto, veamos que valor toma la {x} para {y = 66} en la ecuación {20x + 30y = 3000} que pertenece al recinto de las soluciones factibles; {x = 51}. Obtenemos un número natural

{f(51, 66) = 30 \cdot 51 + 40 \cdot 66 = 4170}

 

El coste mínimo son {4 170} € para {A = 51} y {B = 66}.

 

 

 2  Una escuela prepara una excursión para {400} alumnos. La empresa de transporte tiene {8} autobuses de {40} plazas y {10} de {50} plazas, pero sólo dispone de {9} conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta {800} € y el de uno pequeño {600} €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

 

 1  Elección de las incógnitas.

{x =} autobuses pequeños

{y = }autobuses grandes

 2  Función objetivo

{f(x, y) = 600x + 800y}

 3  Restricciones

{40x + 50y \geq 400}

{x + y \leq 9}

{x \geq 0}

{y \geq 0}

{x \leq 8}

{y \leq 10}

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

grafica conjunto soluciones factibles problema autobus

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

grafica coordenadas de los vertices problema autobuses

 6  Calcular el valor de la función objetivo

{f(0, 8) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 8 = 6 400} €

{f(0, 9) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 9 = 7 200} €

{f(5, 4) = 600 \cdot 5 + 800 \cdot 4 = 6 200} €    Mínimo

 

El coste mínimo es de {6 200} €, y se consigue {4} autobuses grandes y {5} pequeños.

3 Una fábrica de textiles produce dos tipos de prendas A y B con concentraciones distintas de poliéster y algodón. La prenda del modelo A requiere {10} onzas de poliéster y {2} de algodón, mientras la prenda del modelo B necesita {5} onzas de poliéster y {6} de algodón. La empresa cuenta con {300} onzas de poliéster y {120} de algodón. La utilidad marginal de la prenda A es de {10} € y de cada prenda B es de {12} €. Determina la cantidad óptima de unidades de prendas A y B que deben fabricarse para maximizar la utilidad por la venta de las prendas.

 

1 Elección de las incógnitas.

{x =} número de prendas del modelo A

{y = } número de prendas del modelo B

2 Función objetivo

{f(x, y) = 10x + 12y}

3 Restricciones

{10x + 5y \leq 300}

{2x + 6y \leq 120}

{x \geq 0}

{y \geq 0}

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

ejercicios programacion lineal 5

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

ejercicios programacion lineal 6

6 Calcular el valor de la función objetivo

{f(0, 0) = 10 \cdot 0 + 12 \cdot 0 = 0} €

{f(0, 20) = 10 \cdot 0 + 12 \cdot 20 = 240} €

{f(30, 0) = 10 \cdot 30 + 12 \cdot 0 = 300} €

{f(24, 12) = 10 \cdot 24 + 12 \cdot 12 = 384} €

 

La utilidad máxima posible es de {384}€, y ocurre cuando los niveles de producción son de {24} y {12} prendas de los modelos A y B, respectivamente.

4 En la misma fábrica del ejercicio 3 cambiamos las utilidades. En una fábrica se producen produce dos tipos de prendas A y B con concentraciones distintas de poliéster y algodón. La prenda del modelo A requiere {10} onzas de poliéster y {2} de algodón, mientras la prenda del modelo B necesita {5} onzas de poliéster y {6} de algodón. La empresa cuenta con {300} onzas de poliéster y {120} de algodón. La utilidad marginal de la prenda A es de {10} € y de cada prenda B es de {30} €. Determina la cantidad óptima de unidades de prendas A y B que deben fabricarse para maximizar la utilidad por la venta de las prendas.

 

1 Elección de las incógnitas.

{x =} número de prendas del modelo A

{y = } número de prendas del modelo B

2 Función objetivo

{f(x, y) = 10x + 30y}

3 Restricciones

{10x + 5y \leq 300}

{2x + 6y \leq 120}

{x \geq 0}

{y \geq 0}

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

ejercicios programacion lineal 5

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

ejercicios de programacion lineal 7

6 Calcular el valor de la función objetivo

{f(0, 0) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0} €

{f(0, 20) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 20 = 600} €

{f(30, 0) = 10 \cdot 30 + 30 \cdot 0 = 300} €

{f(24, 12) = 10 \cdot 24 + 30 \cdot 12 = 600} €

 

Los valores óptimos son todos los puntos del segmento de recta {2x + 6y = 120} que se encuentra sombreado; así el problema tiene soluciones óptimas alternativas que producen una utilidad máxima de {600} €.

5 En una granja se considera servir a los animales dos alimentos cada uno con contenido nutricional distinto. El primer alimento contiene {30 \ mg/oz} de aminoácido tipo 1 y {20 \ mg/oz} de aminoácido tipo 2, mientras que el segundo alimento contiene {80 \ mg/oz} de aminoácido tipo 1 y {40 \ mg/oz} de aminoácido tipo 2. El costo por gramo del alimento 1 es de {0.2} € y el costo por gramo del alimento tipo 2 es de {0.5} €. Se puede servir cualquier combinación de los alimentos siempre y cuando se sirva al menos tres onzas del alimento tipo 2. Si la cantidad mínima diaria de aminoácido tipo 1 es de {690 \ mg} y de {430 \ mg}, calcule el número de onzas que deben servirse a cada animal, de manera que el costo del alimento sea el más económico.

1 Elección de las incógnitas.

{x =} número de gramos del alimento 1

{y = } número de gramo del alimento 2

2 Función objetivo

{f(x, y) =0.20x + 0.5y}

3 Restricciones

{30x + 80y \geq 690}

{20x + 40y \geq 430}

{x \geq 0}

{y \geq 3}

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

ejercicio programacion lineal 8

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

ejercicio programacion lineal 9

6 Calcular el valor de la función objetivo

{f(0, 10.75) = 0.2 \cdot 0 + 0.5 \cdot 10.75 = 5.4} €

{f(15.5, 3) = 0.2 \cdot 15.5 + 0.5 \cdot 3 = 4.6} €

El valor óptimo es {(15.5, 3)}. Por tanto, el costo mínimo de la comida de cada animal es de {4.6} €, lo cual sucede cuando se sirven {15.5} onzas de alimento tipo 1 y {3} onzas del tipo 2.

6 Un comerciante acude a comprar peras y manzanas con {200} €. El productor le ofrece las peras a {0.6} € el kilogramo y la manzana a {1} € el kilogramo. Se sabe que en su vehículo solo puede transportar {700 \ kg} como máximo y piensa vender el kilogramo de pera a {1.5} € y de manzana a {2.75} €. El comerciante debe poner a disposición de sus clientes al menos {200 \ kg} de peras. Encuentra la cantidad en kilogramos de frutas que debe adquirir el comerciante para su venta de manera que maximice su utilidad.

1 Elección de las incógnitas.

{x =} número de kilogramos de pera

{y = } número de kilogramos de manzana

2 Función objetivo

{f(x, y) = 1.50x + 2.75y}

3 Restricciones

{0.6x + y \leq 200}

{x + y \leq 700}

{x \geq 200}

{y \geq 0}

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

ejercicios de programacion lineal 10

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

ejercicios de programacion lineal 11

6 Calcular el valor de la función objetivo

{f(200, 0) = 1.5 \cdot 200 + 2.75 \cdot 0 = 300} €

{f(333.33, 0) = 1.5 \cdot 333.33 + 2.75 \cdot 0 = 500} €

{f(200, 80) = 1.5 \cdot 200 + 2.75 \cdot 80 = 520} €

 

El valor óptimo es {(200, 80)} y produce una utilidad máxima de {520} €.

7 Una empresa dedicada a la producción de artículo decorativos cuenta con {63} unidades de material y {54} horas de mano de obra. Para producir el primer tipo de artículo decorativo se requiere {3} unidades de material y {9} horas de trabajo; para producir el segundo tipo de artículo se requieren {4} unidades de material y {6} horas de mano de obra. La ganancia que obtiene por el primer artículo es de {15} € y de {11} € por el segundo. Encuentra la cantidad de artículos de ambos tipos que deben fabricarse para maximizar las ganancias si la empresa prometió construir al menos un artículo del primer tipo.

1 Elección de las incógnitas.

{x =} número de artículos decorativos de tipo 1

{y = } número de artículos decorativos de tipo 2

2 Función objetivo

{f(x, y) = 15x + 11y}

3 Restricciones

{3x + 4y \leq 63}

{9x + 6y \leq 54}

{x \geq 1}

{y \geq 0}

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

ejercicios de programacion lineal 12

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

ejercicios de programacion lineal 13

6 Calcular el valor de la función objetivo

{f(1, 0) = 15 \cdot 1 + 11 \cdot 0 = 15} €

{f(6, 0) = 15 \cdot 6 + 11 \cdot 0 = 90} €

{f(1, 7) = 15 \cdot 1 + 11 \cdot 7 = 92} €

 

El valor óptimo es {(1, 7)} y produce una máxima de {92} €.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗