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¿Cómo podemos usar la programación lineal en la vida diaria?
La programación lineal se utiliza cuando buscamos la solución más óptima para un problema de la vida de cada día, considerando las restricciones. Para poder encontrar la solución, necesitamos formular un problema de la vida real usando un modelo matemático. En los próximos ejercicios de programación lineal, buscamos por una parte, la solución ideal para minimizar el coste de una empresa de transporte, y por la otra, para minimizar el coste de una excursión de escuela.
Problemas de programación lineal
Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 
y un espacio no refrigerado de 
. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 
de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 
de producto que necesita refrigeración y 
de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 
€ y el B de 
€. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
camiones de tipo A
camiones de tipo B
2 Función objetivo
3 Restricciones
A
B
Total
Refrigerado
20
30
3 000
No refrigerado
40
30
4 000
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Como 
e 
han de ser números naturales redondeamos el valor de .
Por defecto, veamos que valor toma la para 
en la ecuación 
que pertenece al recinto de las soluciones factibles; 
. Obtenemos un número natural
El coste mínimo son 
€ para 
y 
.
Una escuela prepara una excursión para 
alumnos. La empresa de transporte tiene 
autobuses de 
plazas y 
de 
plazas, pero sólo dispone de 
conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 
€ y el de uno pequeño 
€. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
1 Elección de las incógnitas. autobuses pequeños
autobuses grandes
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
El coste mínimo es de 
€, y se consigue 
autobuses grandes y 
pequeños.
Una fábrica de textiles produce dos tipos de prendas A y B con concentraciones distintas de poliéster y algodón. La prenda del modelo A requiere onzas de poliéster y 
de algodón, mientras la prenda del modelo B necesita onzas de poliéster y 
de algodón. La empresa cuenta con 
onzas de poliéster y 
de algodón. La utilidad marginal de la prenda A es de € y de cada prenda B es de 
€. Determina la cantidad óptima de unidades de prendas A y B que deben fabricarse para maximizar la utilidad por la venta de las prendas.
1 Elección de las incógnitas. número de prendas del modelo A
número de prendas del modelo B
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€
La utilidad máxima posible es de 
€, y ocurre cuando los niveles de producción son de 
y prendas de los modelos A y B, respectivamente.
En la misma fábrica del ejercicio 3 cambiamos las utilidades. En una fábrica se producen produce dos tipos de prendas A y B con concentraciones distintas de poliéster y algodón. La prenda del modelo A requiere onzas de poliéster y de algodón, mientras la prenda del modelo B necesita onzas de poliéster y de algodón. La empresa cuenta con onzas de poliéster y de algodón. La utilidad marginal de la prenda A es de € y de cada prenda B es de 
€. Determina la cantidad óptima de unidades de prendas A y B que deben fabricarse para maximizar la utilidad por la venta de las prendas.
1 Elección de las incógnitas. número de prendas del modelo A
número de prendas del modelo B
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€
Los valores óptimos son todos los puntos del segmento de recta 
que se encuentra sombreado; así el problema tiene soluciones óptimas alternativas que producen una utilidad máxima de €.
En una granja se considera servir a los animales dos alimentos cada uno con contenido nutricional distinto. El primer alimento contiene 
de aminoácido tipo 1 y 
de aminoácido tipo 2, mientras que el segundo alimento contiene 
de aminoácido tipo 1 y 
de aminoácido tipo 2. El costo por gramo del alimento 1 es de 
€ y el costo por gramo del alimento tipo 2 es de 
€. Se puede servir cualquier combinación de los alimentos siempre y cuando se sirva al menos tres onzas del alimento tipo 2. Si la cantidad mínima diaria de aminoácido tipo 1 es de 
y de 
, calcule el número de onzas que deben servirse a cada animal, de manera que el costo del alimento sea el más económico.
1 Elección de las incógnitas.
número de gramos del alimento 1
número de gramo del alimento 2
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
El valor óptimo es 
. Por tanto, el costo mínimo de la comida de cada animal es de 
€, lo cual sucede cuando se sirven 
onzas de alimento tipo 1 y 
onzas del tipo 2.
Un comerciante acude a comprar peras y manzanas con 
€. El productor le ofrece las peras a 
€ el kilogramo y la manzana a 
€ el kilogramo. Se sabe que en su vehículo solo puede transportar 
como máximo y piensa vender el kilogramo de pera a 
€ y de manzana a 
€. El comerciante debe poner a disposición de sus clientes al menos 
de peras. Encuentra la cantidad en kilogramos de frutas que debe adquirir el comerciante para su venta de manera que maximice su utilidad.
1 Elección de las incógnitas.
número de kilogramos de pera
número de kilogramos de manzana
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
El valor óptimo es 
y produce una utilidad máxima de 
€.
Una empresa dedicada a la producción de artículo decorativos cuenta con 
unidades de material y 
horas de mano de obra. Para producir el primer tipo de artículo decorativo se requiere unidades de material y horas de trabajo; para producir el segundo tipo de artículo se requieren unidades de material y horas de mano de obra. La ganancia que obtiene por el primer artículo es de 
€ y de 
€ por el segundo. Encuentra la cantidad de artículos de ambos tipos que deben fabricarse para maximizar las ganancias si la empresa prometió construir al menos un artículo del primer tipo.
1 Elección de las incógnitas.
número de artículos decorativos de tipo 1
número de artículos decorativos de tipo 2
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
El valor óptimo es 
y produce una máxima de 
€.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
hola , necesito si me pueden ayudar con estos ejercicios de grafico lineal, Programación lineal para minería
Ejercicio 1: Una faena minera debe planificar el despacho de dos tipos de roca: dura y blanda. Se exige como mínimo despachar 10 toneladas de roca dura y 20 toneladas de roca blanda durante el turno. Además, por limitaciones operacionales, el total entre ambos tipos no puede superar las 100 toneladas.
Cada tonelada de roca dura genera 9 dólares de utilidad y cada tonelada de roca blanda genera 12 dólares. El objetivo de la empresa es decidir cuántas toneladas de cada tipo despachar para obtener la mayor utilidad posible.
Ejercicio 2: En una faena se utilizan dos tipos de camiones para transporte de material: tipo A y tipo B. Durante el turno se debe cumplir, como mínimo, con una meta de 20 viajes en total combinando ambos tipos de camión. Adicionalmente, considerando la capacidad de carga, se requiere trasladar al menos 37 toneladas equivalentes en total.
Cada camión tipo A que se programa para el turno realiza 3 viajes y aporta 5 toneladas equivalentes, mientras que cada camión tipo B realiza 2 viajes y aporta 4 toneladas equivalentes. El costo de operación del turno es de 760 dólares por cada camión tipo A programado y 600 dólares por cada camión tipo B.
La jefatura debe decidir cuántos camiones de cada tipo programar para cumplir las metas de viajes y de toneladas al menor costo posible.
Ejercicio 3: Una cuadrilla de transporte puede realizar dos tipos de viajes: cortos y largos. Cada viaje corto consume 15 unidades de tiempo operativo y cada viaje largo consume 25 unidades. Para el turno se dispone, como máximo, de 600 unidades de tiempo.
Por razones logísticas, no se pueden realizar más de 40 viajes cortos ni más de 18 viajes largos. Cada viaje corto genera 500 dólares de ingreso y cada viaje largo 800 dólares. Se pide determinar cuántos viajes de cada tipo conviene realizar para maximizar el ingreso total, respetando las limitaciones indicadas.
Ejercicio 4: Un contratista dispone de camiones de dos tipos para cumplir con una obligación mínima de transporte. Cada camión del primer tipo contribuye con 8 unidades de capacidad a la meta exigida y cada camión del segundo tipo aporta 5 unidades. En total, se debe alcanzar al menos 40 unidades de capacidad.
Por disponibilidad, no se pueden programar más de 6 camiones del primer tipo ni más de 10 camiones del segundo tipo. El costo por camión del primer tipo es de 600 dólares y el del segundo tipo es de 350 dólares. Se requiere planificar cuántos camiones de cada tipo utilizar para cumplir la exigencia al menor costo posible.
Ejercicio 5: Una planta puede procesar una mezcla de mineral de alta ley y de baja ley. Por restricciones de capacidad, la suma de toneladas procesadas entre ambos no puede superar las 50 toneladas.
La política de calidad exige que, dentro de la mezcla total, al menos el 40 por ciento corresponda a mineral de alta ley. Además, por disponibilidad de mineral, no se pueden procesar más de 35 toneladas de baja ley.
Cada tonelada de alta ley genera 200 dólares de ingreso y cada tonelada de baja ley 120 dólares. Determine cuántas toneladas de cada tipo conviene procesar para maximizar el ingreso, respetando las condiciones.
Ejercicio 6: Se programan dos tipos de tronaduras: en macizo compacto y en material fracturado. Cada tronadura en macizo compacto consume 4 unidades de un primer recurso y 2 unidades de un segundo recurso. Cada tronadura en material fracturado consume 2 unidades del primer recurso y 3 del segundo.
Para el turno se dispone, como máximo, de 20 unidades del primer recurso y 12 unidades del segundo. La utilidad esperada es de 300 dólares por cada tronadura en macizo compacto y 200 dólares por cada tronadura en material fracturado. Se solicita determinar cuántas tronaduras de cada tipo realizar para maximizar la utilidad.
Ejercicio 7: La operación requiere mover material utilizando equipos que pueden trabajar en rampa interna y en rampa externa. Cada jornada en rampa interna aporta 3 unidades de avance a la meta de movimiento y cada jornada en rampa externa aporta 2 unidades. La meta mínima de avance a cumplir durante el periodo es de 60 unidades.
No es posible asignar más de 30 jornadas a rampa interna ni más de 40 jornadas a rampa externa. El costo por jornada en rampa interna es de 50 dólares, mientras que en rampa externa es de 30 dólares. Se debe planificar la asignación de jornadas entre ambas rampas de manera de cumplir la meta al menor costo.
Ejercicio 8: Una correa transportadora puede operar con dos tipos de fragmentos: finos y gruesos. Por seguridad y capacidad, no se deben transportar más de 20 unidades de fragmentos finos ni más de 25 unidades de fragmentos gruesos.
Adicionalmente, por restricciones de flujo, cada unidad de fragmentos finos equivale al doble del impacto en capacidad que una unidad de fragmentos gruesos; por ello, el total combinado no debe superar un límite de 40 unidades equivalentes (contando dos por cada unidad de finos y una por cada unidad de gruesos).
El valor generado es de 80 dólares por cada unidad de finos y 140 dólares por cada unidad de gruesos. Determine la combinación que maximiza el valor, cumpliendo las restricciones operacionales.
Ejercicio 9: Un camión puede transportar una mezcla de mineral de alta densidad y de baja densidad. La capacidad del camión impide que la suma de unidades de ambos tipos supere 40. Además, por disponibilidad, no se pueden cargar más de 30 unidades de alta densidad.
La contribución económica por unidad es de 100 dólares para el mineral de alta densidad y 60 dólares para el de baja densidad. Determine la carga de cada tipo que maximiza la ganancia, respetando los límites de capacidad y disponibilidad.
Ejercicio 10: Para abastecer una planta se utilizan dos tipos de carguío: tipo 1 y tipo 2. Cada unidad del tipo 1 aporta 4 unidades hacia una meta de abastecimiento y cada unidad del tipo 2 aporta 5 unidades. Durante el periodo se debe alcanzar, como mínimo, un total de 70 unidades aportadas entre ambos tipos.
Por restricciones de disponibilidad, no se pueden realizar más de 12 unidades del tipo 1 ni más de 15 unidades del tipo 2. El costo operativo es de 40 dólares por cada unidad del tipo 1 y 55 dólares por cada unidad del tipo 2. Se requiere definir cuántas unidades de cada tipo realizar para cumplir la meta al menor costo posible.
NO ENTIENDO ESTE PROBLEMA !Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Hola con gusto te explicamos, la programación lineal es un método para encontrar puntos de equilibrio para la solución de problemas que se relacionan con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, usando graficas y métodos analíticos, en este problema se plantea una función para calcular la ganancia y dos ecuaciones con dos incógnitas para encontrar el máximo de ganancias en su punto de solución.
Si hay alguna parte en concreto en que no entiendes puedes señalarlo.
Construye los modelos de Programación Lineal
2. Se tiene disponible en total 8000 kilogramos de Carbonato de Sodio al mes,
donde para producir un pie
2 de los distintos tipos de vidrio se necesita: 2
Kilogramos para vidrio sencillo, 3 kilogramos para vidrio doble y 3 kilogramos
para vidrio catedral.
me puedes ayudar con resolver la solucion del problema del agricultor jones debe decidir cuantos acres de maiz y trigo tiene que plantar este año. un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas de trabajo a la semana.
un acre de maiz produce 10 bushed de maiz y requiere 4 horas de trabajo a la semana.
todo el trigo se vende a 4 doleres el busheld y el maiz se vende a 3 dolares el busheld. se dispone de 7 acres de tierra y 40 horas por semana de trabajo. las regulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 busheld de maiz se produzca durante el año actual.
hola necesito ayuda para resolver e siguiente ejercicio.
Una empresa de logística administra una flota de camiones para el
transporte de mercancías entre tres ciudades: A, B y C. Cada viaje genera
ingresos de $500,
$400 y $600 respectivamente. Los recursos disponibles son:
• Combustible: 800 litros.
• Tiempo de conducción: 600 horas.
• Personal de carga: 300 horas.
Cada viaje requiere los siguientes recursos:
• Ciudad A: 40 litros de combustible, 30 horas de conducción y 20
horas de carga.
• Ciudad B: 30 litros de combustible, 25 horas de conducción y 15
horas de carga.
• Ciudad C: 50 litros de combustible, 35 horas de conducción y 25
horas de carga.
¿Cuántos viajes deben programarse a cada ciudad para maximizar los
ingresos totales?
3. Un pequeño pero próspero negocio se dedica a la fabricación de Batas y Trusas en Medellín. Hacer una bata requiere 30 minutos de corte y 20 minutos de
fileteado. Hacer una trusa requiere 15 minutos de corte y 30 minutos de fileteado. La utilidad por cada bata fabricada y vendida es de 20.000 y la utilidad por
cada trusa fabricada y vendida es de 25.000. El negocio opera por un máximo de ocho (8) horas diarias. Su principal aliado es Batas de Seda S.A. una
comercializadora exitosa que le exige al menos la entrega de dos batas diarias. Determine cuantas batas y trusas deben ser fabricadas diariamente para
maximizar la utilidad de las ventas
una empresa desea maximizar sus ganancias mediante publicidad en television y redes sociales .Cada minuto de television genera 1000 unidades de ganancia y cada hora en redes sociales genera 500.El presupuesto es de 20,000 unidades y los costos son 200 por minuto de television y 1000 por hora en redes sociales .El maximo de horas en reds sociales es de 50 y en televisión es 30
Es un ejemplo de una ecuación utilizada en la programación lineal.
Pregunta 1Respuesta
a.
Y = 23 + 20×2 + 40y
b.
Z = x + 45y
c.
Z = x + 45y3
d.
Y = 20y + 20yx2
Un productor de alimento para animales, fabrica dos clases de grano, A y B. Cada unidad del grano A contiene 2 gramos de grasa, 1 gramo de proteína y 80 calorías. Cada unidad del grano B contiene 3 gramos de grasa, 3 gramos de proteína y 60 calorías. Suponga que el productor desea que cada unidad del producto final tenga, como mínimo, 18 gramos de grasa, 12 gramos de proteína y 480 calorías. Si cada unidad de A cuesta 10 centavos y cada unidad de B cuesta 12 centavos,
¿Cuántas unidades de cada clase de grano debe usar para minimizar el costo?