En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienda de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
= nº de lámparas L1
= nº de lámparas L2
2 Función objetivo
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| L1 | L2 | Tiempo | |
|---|---|---|---|
| Manual | 1/3 | 1/2 | 100 |
| Máquina | 1/3 | 1/6 | 80 |
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
; para ello, tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:
; 
; 
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L2 para obtener un beneficio de 3,750€.
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P1 | P2 | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Cuadernos | 2 | 3 | 600 |
| Carpetas | 1 | 1 | 500 |
| Bolígrafos | 2 | 1 | 400 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1,675€.
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
 |  | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| A | 1 | 5 | 15 |
| B | 5 | 1 | 15 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
El coste mínimo son 100€ para X=5/2 e Y=5/2.
Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
Número de pastillas grandes
Número de pastillas pequeñas
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Repasa estos conceptos con clases particulares matematicas Madrid.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
El máximo beneficio es de 24€, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
nº de lotes de A
nº de lotes de B
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Camisas | 1 | 3 | 200 |
| Pantalones | 1 | 1 | 100 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4,000€.
Una compañía produce dos tipos de calculadora, el modelo C1 y el modelo C2. El tiempo de fabricación de las calculadoras es de 1 hora para el modelo C1 y de 4 horas para el modelo C2. El costo de fabricación del modelo C1 es de 30€ y el costo del modelo C2 es de 20€. La compañía dispone de 1600 horas para fabricar las calculadoras y de 18000€ para gastos viables. La ganancia en cada calculadora del modelo C1 es de 10€ y la ganancia para el modelo C2 es de 8€. ¿Cuál debe ser el plan de producción para garantizar la máxima ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
nº de calculadoras C1
nº de calculadoras C2
2 Función objetivo
3 Restricciones
| C1 | C2 | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Horas | 1 | 4 | 1600 |
| Gastos | 30 | 40 | 18000 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 400 calculadoras del modelo C1 y con 300 calculadoras del modelo C2 se obtiene la máxima ganancia de 6400€.
Un empresario desea vender 400 mesas y 200 sillas. Se ofrecen dos promociones, 1 y 2. La promoción 1 consiste en 1 mesa y en 1 silla, que se venden a 60€; la promoción 2 consiste en 3 mesas y en 1 silla, que se venden a 100€. No se desea ofrecer menos de 40 promociones de la oferta 1 ni menos de 20 promociones de la oferta 2. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para maximizar las ventas?
1 Elección de las incógnitas.
nº de promociones 1 (P1)
nº de promociones 2 (P2)
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P1 | P2 | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Mesas | 1 | 3 | 400 |
| Sillas | 1 | 1 | 200 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 100 promociones de cada una se obtiene la ganancia máxima de 16000€.
Julián tiene un micro emprendimiento de ollas y pone a la venta una batería de cocina en dos presentaciones, una económica y otra de lujo. El gasto que tendrá de material es de 20€ para la económica y de 80€ para la de lujo. EL gasto de mano de obra es de 50€ para la económica y para la de lujo es de 80€. Julián dispone de 160,000€ para materiales y de 240,000€ para el pago de personal. Si la batería económica se vende en 100€ y la de lujo en 230€, ¿qué modelo de producción debe seguir Julián para que su venta sea máxima?
1 Elección de las incógnitas.
nº de baterías económicas
nº de baterías de lujo
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Económica | Lujo | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Material | 20 | 80 | 160,000 |
| Mano de obra | 50 | 80 | 240,000 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
el cual se puede redondear al vértice 
ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con la producción y venta de 2667 baterías económicas y 1333 baterías de lujo, Julián obtendrá la máxima venta de 573,290€.
Un agricultor tiene 600 hectáreas en las que puede sembrar maíz o cebada y dispone de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad por hectárea para el maíz son de 60€ y para la cebada es de 70€. Los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz es de 1 hora por hectárea y en la siembra de cebada es de 2 horas por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para maximizar su utilidad?, ¿Cuál es la utilidad máxima?
1 Elección de las incógnitas.
nº de hectáreas de maíz
nº de hectáreas de cebada
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Maíz | Cebada | Disponible | |
|---|---|---|---|
| Hectáreas | 1 | 1 | 600 |
| Horas | 1 | 2 | 800 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
El agricultor debe sembrar 400 hectáreas de maíz y 200 de cebada para obter la utilidad máxima de 38,000€.
Una empresa decide, por el día del trabajador, llevar de paseo a la playa a 400 trabajadores (por lo menos). Para ello contrata a una compañía de transporte, la cual dispone de autobuses para 60 pasajeros y microbuses para 20 pasajeros. El precio de alquiler de cada autobús es de 250€ y de cada microbús de 200€. La compañía de transporte solo dispone ese día de 8 choferes profesionales. ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para que el costo sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
nº de autobuses
nº de microbuses
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Autobueses | Micobuses | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Pasajeros | 60 | 20 | 400 |
| Choferes | 1 | 1 | 8 |
La primera desigualdad se debe a que al menos irán 400 empleados, pero podemos idear un plan de transporte en el que haya asientos disponibles siempre y cuando el coste sea el mínimo.
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
el cual se puede redondear al vértice 
ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
Por lo tanto, con 7 autobuses con capacidad para 420 pasajeros la empresa gastará el mínimo de 1,750€
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
hola , necesito si me pueden ayudar con estos ejercicios de grafico lineal, Programación lineal para minería
Ejercicio 1: Una faena minera debe planificar el despacho de dos tipos de roca: dura y blanda. Se exige como mínimo despachar 10 toneladas de roca dura y 20 toneladas de roca blanda durante el turno. Además, por limitaciones operacionales, el total entre ambos tipos no puede superar las 100 toneladas.
Cada tonelada de roca dura genera 9 dólares de utilidad y cada tonelada de roca blanda genera 12 dólares. El objetivo de la empresa es decidir cuántas toneladas de cada tipo despachar para obtener la mayor utilidad posible.
Ejercicio 2: En una faena se utilizan dos tipos de camiones para transporte de material: tipo A y tipo B. Durante el turno se debe cumplir, como mínimo, con una meta de 20 viajes en total combinando ambos tipos de camión. Adicionalmente, considerando la capacidad de carga, se requiere trasladar al menos 37 toneladas equivalentes en total.
Cada camión tipo A que se programa para el turno realiza 3 viajes y aporta 5 toneladas equivalentes, mientras que cada camión tipo B realiza 2 viajes y aporta 4 toneladas equivalentes. El costo de operación del turno es de 760 dólares por cada camión tipo A programado y 600 dólares por cada camión tipo B.
La jefatura debe decidir cuántos camiones de cada tipo programar para cumplir las metas de viajes y de toneladas al menor costo posible.
Ejercicio 3: Una cuadrilla de transporte puede realizar dos tipos de viajes: cortos y largos. Cada viaje corto consume 15 unidades de tiempo operativo y cada viaje largo consume 25 unidades. Para el turno se dispone, como máximo, de 600 unidades de tiempo.
Por razones logísticas, no se pueden realizar más de 40 viajes cortos ni más de 18 viajes largos. Cada viaje corto genera 500 dólares de ingreso y cada viaje largo 800 dólares. Se pide determinar cuántos viajes de cada tipo conviene realizar para maximizar el ingreso total, respetando las limitaciones indicadas.
Ejercicio 4: Un contratista dispone de camiones de dos tipos para cumplir con una obligación mínima de transporte. Cada camión del primer tipo contribuye con 8 unidades de capacidad a la meta exigida y cada camión del segundo tipo aporta 5 unidades. En total, se debe alcanzar al menos 40 unidades de capacidad.
Por disponibilidad, no se pueden programar más de 6 camiones del primer tipo ni más de 10 camiones del segundo tipo. El costo por camión del primer tipo es de 600 dólares y el del segundo tipo es de 350 dólares. Se requiere planificar cuántos camiones de cada tipo utilizar para cumplir la exigencia al menor costo posible.
Ejercicio 5: Una planta puede procesar una mezcla de mineral de alta ley y de baja ley. Por restricciones de capacidad, la suma de toneladas procesadas entre ambos no puede superar las 50 toneladas.
La política de calidad exige que, dentro de la mezcla total, al menos el 40 por ciento corresponda a mineral de alta ley. Además, por disponibilidad de mineral, no se pueden procesar más de 35 toneladas de baja ley.
Cada tonelada de alta ley genera 200 dólares de ingreso y cada tonelada de baja ley 120 dólares. Determine cuántas toneladas de cada tipo conviene procesar para maximizar el ingreso, respetando las condiciones.
Ejercicio 6: Se programan dos tipos de tronaduras: en macizo compacto y en material fracturado. Cada tronadura en macizo compacto consume 4 unidades de un primer recurso y 2 unidades de un segundo recurso. Cada tronadura en material fracturado consume 2 unidades del primer recurso y 3 del segundo.
Para el turno se dispone, como máximo, de 20 unidades del primer recurso y 12 unidades del segundo. La utilidad esperada es de 300 dólares por cada tronadura en macizo compacto y 200 dólares por cada tronadura en material fracturado. Se solicita determinar cuántas tronaduras de cada tipo realizar para maximizar la utilidad.
Ejercicio 7: La operación requiere mover material utilizando equipos que pueden trabajar en rampa interna y en rampa externa. Cada jornada en rampa interna aporta 3 unidades de avance a la meta de movimiento y cada jornada en rampa externa aporta 2 unidades. La meta mínima de avance a cumplir durante el periodo es de 60 unidades.
No es posible asignar más de 30 jornadas a rampa interna ni más de 40 jornadas a rampa externa. El costo por jornada en rampa interna es de 50 dólares, mientras que en rampa externa es de 30 dólares. Se debe planificar la asignación de jornadas entre ambas rampas de manera de cumplir la meta al menor costo.
Ejercicio 8: Una correa transportadora puede operar con dos tipos de fragmentos: finos y gruesos. Por seguridad y capacidad, no se deben transportar más de 20 unidades de fragmentos finos ni más de 25 unidades de fragmentos gruesos.
Adicionalmente, por restricciones de flujo, cada unidad de fragmentos finos equivale al doble del impacto en capacidad que una unidad de fragmentos gruesos; por ello, el total combinado no debe superar un límite de 40 unidades equivalentes (contando dos por cada unidad de finos y una por cada unidad de gruesos).
El valor generado es de 80 dólares por cada unidad de finos y 140 dólares por cada unidad de gruesos. Determine la combinación que maximiza el valor, cumpliendo las restricciones operacionales.
Ejercicio 9: Un camión puede transportar una mezcla de mineral de alta densidad y de baja densidad. La capacidad del camión impide que la suma de unidades de ambos tipos supere 40. Además, por disponibilidad, no se pueden cargar más de 30 unidades de alta densidad.
La contribución económica por unidad es de 100 dólares para el mineral de alta densidad y 60 dólares para el de baja densidad. Determine la carga de cada tipo que maximiza la ganancia, respetando los límites de capacidad y disponibilidad.
Ejercicio 10: Para abastecer una planta se utilizan dos tipos de carguío: tipo 1 y tipo 2. Cada unidad del tipo 1 aporta 4 unidades hacia una meta de abastecimiento y cada unidad del tipo 2 aporta 5 unidades. Durante el periodo se debe alcanzar, como mínimo, un total de 70 unidades aportadas entre ambos tipos.
Por restricciones de disponibilidad, no se pueden realizar más de 12 unidades del tipo 1 ni más de 15 unidades del tipo 2. El costo operativo es de 40 dólares por cada unidad del tipo 1 y 55 dólares por cada unidad del tipo 2. Se requiere definir cuántas unidades de cada tipo realizar para cumplir la meta al menor costo posible.
NO ENTIENDO ESTE PROBLEMA !Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Hola con gusto te explicamos, la programación lineal es un método para encontrar puntos de equilibrio para la solución de problemas que se relacionan con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, usando graficas y métodos analíticos, en este problema se plantea una función para calcular la ganancia y dos ecuaciones con dos incógnitas para encontrar el máximo de ganancias en su punto de solución.
Si hay alguna parte en concreto en que no entiendes puedes señalarlo.
Construye los modelos de Programación Lineal
2. Se tiene disponible en total 8000 kilogramos de Carbonato de Sodio al mes,
donde para producir un pie
2 de los distintos tipos de vidrio se necesita: 2
Kilogramos para vidrio sencillo, 3 kilogramos para vidrio doble y 3 kilogramos
para vidrio catedral.
me puedes ayudar con resolver la solucion del problema del agricultor jones debe decidir cuantos acres de maiz y trigo tiene que plantar este año. un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas de trabajo a la semana.
un acre de maiz produce 10 bushed de maiz y requiere 4 horas de trabajo a la semana.
todo el trigo se vende a 4 doleres el busheld y el maiz se vende a 3 dolares el busheld. se dispone de 7 acres de tierra y 40 horas por semana de trabajo. las regulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 busheld de maiz se produzca durante el año actual.
hola necesito ayuda para resolver e siguiente ejercicio.
Una empresa de logística administra una flota de camiones para el
transporte de mercancías entre tres ciudades: A, B y C. Cada viaje genera
ingresos de $500,
$400 y $600 respectivamente. Los recursos disponibles son:
• Combustible: 800 litros.
• Tiempo de conducción: 600 horas.
• Personal de carga: 300 horas.
Cada viaje requiere los siguientes recursos:
• Ciudad A: 40 litros de combustible, 30 horas de conducción y 20
horas de carga.
• Ciudad B: 30 litros de combustible, 25 horas de conducción y 15
horas de carga.
• Ciudad C: 50 litros de combustible, 35 horas de conducción y 25
horas de carga.
¿Cuántos viajes deben programarse a cada ciudad para maximizar los
ingresos totales?
3. Un pequeño pero próspero negocio se dedica a la fabricación de Batas y Trusas en Medellín. Hacer una bata requiere 30 minutos de corte y 20 minutos de
fileteado. Hacer una trusa requiere 15 minutos de corte y 30 minutos de fileteado. La utilidad por cada bata fabricada y vendida es de 20.000 y la utilidad por
cada trusa fabricada y vendida es de 25.000. El negocio opera por un máximo de ocho (8) horas diarias. Su principal aliado es Batas de Seda S.A. una
comercializadora exitosa que le exige al menos la entrega de dos batas diarias. Determine cuantas batas y trusas deben ser fabricadas diariamente para
maximizar la utilidad de las ventas
una empresa desea maximizar sus ganancias mediante publicidad en television y redes sociales .Cada minuto de television genera 1000 unidades de ganancia y cada hora en redes sociales genera 500.El presupuesto es de 20,000 unidades y los costos son 200 por minuto de television y 1000 por hora en redes sociales .El maximo de horas en reds sociales es de 50 y en televisión es 30
Es un ejemplo de una ecuación utilizada en la programación lineal.
Pregunta 1Respuesta
a.
Y = 23 + 20×2 + 40y
b.
Z = x + 45y
c.
Z = x + 45y3
d.
Y = 20y + 20yx2
Un productor de alimento para animales, fabrica dos clases de grano, A y B. Cada unidad del grano A contiene 2 gramos de grasa, 1 gramo de proteína y 80 calorías. Cada unidad del grano B contiene 3 gramos de grasa, 3 gramos de proteína y 60 calorías. Suponga que el productor desea que cada unidad del producto final tenga, como mínimo, 18 gramos de grasa, 12 gramos de proteína y 480 calorías. Si cada unidad de A cuesta 10 centavos y cada unidad de B cuesta 12 centavos,
¿Cuántas unidades de cada clase de grano debe usar para minimizar el costo?