Optimizan en la fabricación de lamparas

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2.

Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el
modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20
minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.

Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina
80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros
para L1 y L2,  respectivamente, planificar la producción para obtener el
máximo beneficio.

 

 

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2.
Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el
modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20
minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.

 

Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina
80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros
para L1 y L2,  respectivamente, planificar la producción para obtener el
máximo beneficio.

 

 1  Elección de las incógnitas.

 

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

 

 2  Función objetivo

 

f(x, y) = 15x + 10y

 

 3  Restricciones

 

Pasamos los tiempos a horas

 

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

L1L2Tiempo
Manual1/31/2100
Máquina1/31/680

 

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

 

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:

 

x ≥ 0

y ≥ 0

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

 

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello,
tomamos un  punto del plano, por ejemplo el  (0,0).

 

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

 

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la
solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las
soluciones factibles.

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Lamparas)

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones
factibles.

 

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto.
estos son  las soluciones a los sistemas:

 

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

 

 

Solución optima del problema de optimización (Lamparas)

 

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

 

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

 

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para
obtener un beneficio de 3 750 € .

 

 

Material escolar

 

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.

Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400
bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas;
en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos;
en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo.

Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente.

¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 

 

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.

 

Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400
bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas;
en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos;
en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo.

 

Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente.

 

¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 

 1  Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

 

2  Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

 

3  Restricciones

 

 

P1P2Disponibles
Cuadernos23600
Carpetas11500
Bolígrafos21400

 

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

 Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Kit escolar)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

Solución optima del problema de optimización (Kit escolar)

 

 

 

6 Calcular el valor de la función objetivo

 

f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €    Máximo

 

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €

 

 

Optimización para la alimentación en granja

 

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B.

En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una
composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición
de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo
Y es de 30 €.

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades
con un coste mínimo?

 

 

 

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B.

 

En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una
composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición
de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo
Y es de 30 €.

 

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades
con un coste mínimo?

 

1  Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

 

2  Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

 

3  Restricciones

 

 

XYMínimo
A1515
B5115

 

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

 Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Alimento)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

 

Solución optima del problema de optimización (Alimento)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   Mínimo

 

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

 

 

Programación lineal en la elaboración de medicinas

 

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas
grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g.

Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de
pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un
beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €.

¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio
sea máximo?

 

 

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas
grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g.

 

Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de
pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un
beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €.

 

¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio
sea máximo?

 

1  Elección de las incógnitas.

x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

 

2  Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

 

3  Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Medicinas)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

 

Solución optima del problema de optimización (Medicinas)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €    Máximo

 

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

 

 

 

Ejercicio sobre ofertas de ropa

 

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones
de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B.

La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se
venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un
pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20
lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 

 

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones
de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B.

 

La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se
venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un
pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20
lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

 

¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 

1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

 

2  Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

 

3  Restricciones

 

 

ABMínimo
Camisas13200
Pantalones11100

 

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Ropa))

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

 

 Solución optima del problema de optimización (Ropa)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    Máximo

 

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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