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Las integrales

 

¿Quieres conocer uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas? Así es, para ser un as en matemáticas, debes conocer las integrales. En resumen, una integral es la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. Como sabrás, la integral y la derivada son conceptos inversos.

Las integrales están muy presentes en la ingeniería y en la ciencia y se usan sobre todo para calcular áreas y volúmenes, así que, si quieres estudiar algo relacionado con estos campos, seguramente tendrás que utilizarlas mucho.

 

Notación de las integrales

 

¡Vamos con un poco de notación!

Se dice que una función es integrable cuando tiene una integral. La función de la que se calcula la integral es el integrando, mientras que el dominio de integración es la región sobre la cual se integra la función. La integral puede tener dominio de integración o no (en el primer caso es definida y en el segundo caso es indefinida).

¿Sabes de dónde viene el símbolo de las integrales «∫»? El símbolo se lo debemos al matemático Gottfried Leibniz, que lo presentó en 1675. Para indicar «suma», alargó la letra S porque consideraba a la integral como una suma infinita de sumandos infinitesimales. Por otro lado, alrededor de 1820, Joseph Fourier fue el primero en usar la notación moderna de la integral, añadiendo los límites en el signo de la integral.​

 

Historia de las integrales

 

¿Sabías que las integrales ya estaban presentes en el antiguo Egipto, en torno al 1800 a. C.? ¡Pues sí! Hay un papiro, donde aparece una fórmula para calcular el volumen de un tronco con forma de pirámide.

Sin embargo, la primera técnica de la que tenemos constancia para llevar a cabo operaciones integrales es el método de exhaución de Eudoxo (370 a. C.), cuyo objetivo era calcular áreas y volúmenes dividiéndolos en infinitas formas para las que se supieran el área o el volumen. Posteriormente, el matemático griego Arquímedes se sirvió de este método y lo desarrolló ampliamente para calcular áreas de parábolas y el área del círculo de forma aproximada.

Tenemos que esperar hasta el siglo XVI para ver avances importantes en el método de exhaución. En esta época, hubo adelantos en las bases del cálculo moderno gracias a los trabajos de matemáticos como Cavalieri y Fermat y las aportaciones de Barrow y Torricelli, que fueron los primeros en percatarse de la conexión que existe entre las integrales y las derivadas.

Durante el siglo XVII, se produjeron los principales adelantos en la integración de la mano de Newton y Leibniz y su formulación del teorema fundamental del cálculo, que finalmente prueba la relación entre las integrales y las derivadas y permite resolver una variedad más amplia de problemas.

Además de estas aportaciones, Newton y Leibniz tuvieron otras influencias importantes en la historia de las matemáticas, ya que el cálculo infinitesimal permitió analizar funciones con dominios continuos de forma precisa. Más adelante, ha evolucionado hacia el cálculo moderno y hay que decir que el fue Leibniz quien acuñó la notación para las integrales.

El desarrollo de los límites hizo que el cálculo se posicionara más firmemente hasta que, ya en la primera mitad del siglo XIX, la integración se formalizó por primera vez por parte de Riemann, con el uso de límites. Todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, pero más tarde se consideraron funciones más generales para las que no se podía aplicar la definición de Riemann.

¡Y aquí es donde aparece Lebesgue! Este matemático francés proporcionó, ya a principios del siglo XX, una definición diferente de la integral​ basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann. Por consiguiente, toda función integrable en el sentido de Riemann también lo es en el sentido de Lebesgue, pero no al revés. Posteriormente, podemos encontrar otras generalizaciones en las definiciones de integral, que amplían las definiciones de estos dos matemáticos.

Hacia el final de la primera mitad del siglo XX, apareció la formulación de la integral de Itō mediante el desarrollo de la noción de proceso estocástico dentro de la teoría de la probabilidad, y más adelante se conoció como integral de Skorohod (1975). Además, desde los años 60, se ha buscado una definición matemáticamente rigurosa de integral de caminos cuánticos.

 

Usos y aplicaciones de las integrales

 

Como hemos dicho antes, las integrales se utilizan sobre todo para calcular áreas y volúmenes, ¡pero su aplicación está presente en muchos más campos de la ciencia! De hecho, pueden ser útiles en diferentes ramas de la ciencia, como la geometría, la física, la biología e incluso la economía.

¿Quieres saber algunos ejemplos de sus usos? Con las integrales podemos calcular diferentes elementos, como la longitud de arco de una curva, el valor promedio de una función, la presión que ejerce un fluido, el trabajo que ha de realizarse para mover un objeto de un punto a otro, la velocidad de un objeto móvil o incluso el superávit del consumidor.

En el campo de la biología, gracias a las integrales, podemos incluso conocer el flujo sanguíneo de una persona y su gasto cardiaco. Como ves, ¡son muy útiles en muchas áreas científicas!

¡Esto es solo la teoría! Si quieres seguir descubriendo más cosas sobre las integrales, te animamos a que sigas navegando por las distintas secciones del contenido de teoría de esta página, que te empapes de todas las fórmulas existentes y que practiques con todos los ejercicios variados que encontrarás aquí. ¡Las integrales ya no tendrán ningún secreto para ti!

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