Marta

16 noviembre 2020

 

1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{n\'umero de pantalones}}

{y = \mbox{n\'umero de chaquetas}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y)= 50x + 40y}

 

 3  Restricciones

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

pantalones chaquetas disponible
algodón  1  1.5  750
poliéster  2  1  1000

 

{x + 1.5y \le 750 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ 2x+3y\le 1500}

{2x + y \le 1000}

 

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

 

Al ser {x \ge 0} e {y \ge 0}, trabajaremos en el primer cuadrante.

 

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

 

Ejercicio de programación lineal 1 representación gráfica

 

Resolvemos gráficamente la inecuación: {2x + 3y \le 1500}, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el {(0,0)}.

 

{2\cdot 0 + 3\cdot 0 \le 1 500}

 

Como {0 \le 1 500} entonces el punto {(0,0)} se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

 

De modo análogo resolvemos {2x + y \le 1000}.

 

{2\cdot 0 + 0 \le 1 00}

 

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

 

Ejercicio de programacion lineal representación gráfica zona de intersección de soluciones

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:

 

{2x + 3y = 1500; \ \ \ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \(0, 500)}

{2x + y = 1000; \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (500, 0)}

{2x + 3y =1500; \ \ \ 2x + y = 1000 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (375, 250)}

 

Ejercicio de programacion lineal 3 grafica de zona de intersección de soluciones

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices

 

{f(x, y) = 50x + 40y}

{f(0, 500) = 50 \cdot 0 + 40 \cdot 500 = 20000} €

{f(500, 0) = 50 \cdot 500 + 40 \cdot 0 = 25000} €

{f(375, 250) = 50 \cdot 375 + 40 \cdot 250 = 28750} €    Máximo

 

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

 

 

2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara {L_{1}} y {L_{2}}. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo {L_{1}} y de 30 minutos para el {L_{2}}; y un trabajo de máquina para {L_{1}} y de 10 minutos para {L_{2}}. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para {L_{1}} y {L_{2}}, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{1}}

{y = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{2}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 15x + 10y}

 

 3  Restricciones

 

Pasamos los tiempos a horas

 

{20 \; min = 1/3 \; h}

{30 \; min = 1/2 \; h}

{10 \; min = 1/6 \; h}

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

{L_1} {L_2} Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80

 

{1/3x + 1/2y \le 100}

{1/3x + 1/6y \le 80}

 

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

 

Al ser {x \ge 0} e {y \ge 0}, trabajaremos en el primer cuadrante.

 

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

 

Resolvemos gráficamente la inecuación: {1/3 x + 1/2 y \le 100}; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0) .

 

{1/3\cdot 0 + 1/2\cdot 0 \le 100}

{1/3\cdot 0 + 1/6\cdot 0 \le 80}

 

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 4 zona de intersección de soluciones

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

 

{1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0, 200)}

{1/3x + 1/6y = 80; \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (240, 0)}

{1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ 1/3x + 1/6y=80 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (210, 60)}

 

Ejercicios de programacion lineal 5

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

 

{f(x, y) = 15x + 10y}

{f(0, 200) = 15\cdot 0 + 10\cdot 200 = 2 000} €

{f(240, 0 ) = 15\cdot 240 + 10\cdot 0 = 3 600} €

{f(210, 60) = 15\cdot 210 + 10\cdot 60 = 3 750} €    Máximo

 

La solución óptima es fabricar 210 del modelo {L_{1}} y 60 del modelo {L_{2}} para obtener un beneficio de 3 750 € .

 

 

3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo {A} con un espacio refrigerado de 20 m³ y un espacio no refrigerado de 40 m³. Los del tipo {B}, con igual cubicaje total, al 50 % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m³ de producto que necesita refrigeración y 4 000 m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo {A} es de 30 € y el {B} de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{camiones de tipo} \; A}

{y = \mbox{camiones de tipo} \; B}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y) = 30x + 40y}

 

 3  Restricciones

 

{A} {B} Total
Refrigerado 20 30 3 000
No refrigerado 40 30 4 000

 

{20x + 30y \ge 3 000}

{40x + 30y \ge 4 000}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 6

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 7

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(0, 400/3) = 30 \cdot 0 + 40 \cdot 400/3 = 5 333.332}

{f(150, 0) = 30 \cdot 150 + 40 \cdot 0 = 4 500}

 

Como {x} e {y} han de ser números naturales redondeamos el valor de {y}.

 

{f(50, 67) = 30 \cdot 50 + 40 \cdot 67 = 4180}

 

Por defecto, veamos que valor toma la {x} para {y = 66} en la ecuación {20x + 30y = 3000} que pertenece al recinto de las soluciones factibles; {x = 51}. Obtenemos un número natural

 

{f(51, 66) = 30 \cdot 51 + 40 \cdot 66 = 4170}

 

El coste mínimo son {4 170} € para {A = 51} y {B = 66}

 

 

4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia {A} y otras 15 de una sustancia {B}. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo {X} con una composición de una unidad de {A} y 5 de {B}, y el otro tipo, {Y}, con una composición de cinco unidades de {A} y una de {B}. El precio del tipo {X} es de 10 euros y del tipo {Y} es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = X}

{y = Y}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y) = 10x + 30y}

 

 3  Restricciones

 

{X} {Y} Mínimo
{A} 1 5 15
{B} 5 1 15

 

{x + 5y \ge 15}

{5x + y \ge 15}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 8

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 9

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(0, 15) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 15 = 450}

{f(15, 0) = 10 \cdot 15 + 30 \cdot 0 = 150}

{f(5/2, 5/2) = 10 \cdot 5/2 + 30 \cdot 5/2 = 100}   Mínimo

 

El coste mínimo son {100} € para {X = 5/2} e {Y = 5/2}.

 

 

5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = P_{1}}

{y = P_{2}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 6.5x + 7y}

 

 3  Restricciones

 

{P_{1}} {P_{2}} Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400

 

{2x + 3y \le 600}

{x + y \le 500}

{2x + y \le 400}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 10

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 11

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(x,y) = 6.5 \cdot 200 + 7 \cdot 0 = 1300} €

{f(x,y)= 6.5 \cdot 0 + 7 \cdot 200 = 1 400} €

{f(x,y)= 6.5 \cdot 150 + 7 \cdot 100 = 1 675} €    Máximo

 

La solución óptima son 150 {P_{1}} y 100 {P_{2}} con la que se obtienen 1 675 €

 

 

6Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B . La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{n\'umero de lotes de A}}

{y = \mbox{n\'umero de lotes de B}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 30x + 50y}

 

 3  Restricciones

 

A B Mínimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100

 

{x + 3y \le 200}

{x + y \le 100}

{x \ge 20}

{ y \ge 10}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 12

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 13

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 10 = 1100} €

{f(x, y) = 30 \cdot 90 + 50 \cdot 10 = 3200} €

{f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 60 = 3600} €

{f(x, y) = 30 \cdot 50 + 50 \cdot 50 = 4000} €    Máximo

 

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

 

 

7Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1   €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{Pastillas grandes}}

{y = \mbox{Pastillas peque\~nas}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 2x + y}

 

 3  Restricciones

 

{40x + 30y \le 600}

{x \ge 3}

{y \ge 2x}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 14

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 15

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(x, y) = 2 \cdot 3 + 16 = 22} €

{f(x, y) = 2 \cdot 3 + 6 = 12} €

{f(x, y) = 2 \cdot 6 + 12 = 24} €    Máximo

 

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

 

 

8Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

 1  Elección de las incógnitas.

 

{x = \mbox{autobuses peque\~nos}}

{y = \mbox{autobuses grandes}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x, y) = 600x + 800y}

 

 3  Restricciones

 

{40x + 50y \ge 400}

{x + y \le 9}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Ejercicios de programacion lineal 16

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

Ejercicios de programacion lineal 17

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

{f(0, 8) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 8 = 6 400} €

{f(0, 9) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 9 = 7 200} €

{f(5, 4) = 600 \cdot 5 + 800\cdot 4 = 6 200} €    Mínimo

 

El coste mínimo es de 6 200 €, y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗