1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de $750$ m de tejido de algodón y $1000$ m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa $1$ m de algodón y $2$ m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan $1.5$ m de algodón y $1$ m de poliéster. El precio del pantalón se fija en $50$ € y el de la chaqueta en $40$ €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{n\'umero de pantalones}}$

${y = \mbox{n\'umero de chaquetas}}$

2 Función objetivo

${f(x,y)= 50x + 40y}$

3 Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

	pantalones	chaquetas	disponible
algodón	$1$	$1.5$	$750$
poliéster	$2$	$1$	$1000$

${x + 1.5y \le 750 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ 2x+3y\le 1500}$

${2x + y \le 1000}$

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser ${x \ge 0}$ e ${y \ge 0}$ , trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Ejercicio de programación lineal 1 representación gráfica

Resolvemos gráficamente la inecuación: ${2x + 3y \le 1500}$ , para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el ${(0,0)}$ .

${2\cdot 0 + 3\cdot 0 \le 1 500}$

Como ${0 \le 1 500}$ entonces el punto ${(0,0)}$ se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos ${2x + y \le 1000}$ .

${2\cdot 0 + 0 \le 1 00}$

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Ejercicio de programacion lineal representación gráfica zona de intersección de soluciones

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:

${2x + 3y = 1500; \ \ \ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \(0, 500)}$

${2x + y = 1000; \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (500, 0)}$

${2x + 3y =1500; \ \ \ 2x + y = 1000 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (375, 250)}$

Ejercicio de programacion lineal 3 grafica de zona de intersección de soluciones

6 Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices

${f(x, y) = 50x + 40y}$

${f(0, 500) = 50 \cdot 0 + 40 \cdot 500 = 20000}$ €

${f(500, 0) = 50 \cdot 500 + 40 \cdot 0 = 25000}$ €

${f(375, 250) = 50 \cdot 375 + 40 \cdot 250 = 28750}$ € Máximo

La solución óptima es fabricar $375$ pantalones y $250$ chaquetas para obtener un beneficio de $28750$ €.

2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara ${L_{1}}$ y ${L_{2}}$ . Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo ${L_{1}}$ y de $30$ minutos para el ${L_{2}}$ ; y un trabajo de máquina para ${L_{1}}$ y de 10 minutos para ${L_{2}}$ . Se dispone para el trabajo manual de $100$ horas al mes y para la máquina $80$ horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15$ y $10$ euros para ${L_{1}}$ y ${L_{2}}$ , respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{1}}$

${y = \mbox{n\'umero de l\'amparas} \; L_{2}}$

2 Función objetivo

${f(x, y) = 15x + 10y}$

3 Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

${20 \; min = 1/3 \; h}$

${30 \; min = 1/2 \; h}$

${10 \; min = 1/6 \; h}$

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

	${L_1}$	${L_2}$	Tiempo
Manual	$1/3$	$1/2$	$100$
Máquina	$1/3$	$1/6$	$80$

${1/3x + 1/2y \le 100}$

${1/3x + 1/6y \le 80}$

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser ${x \ge 0}$ e ${y \ge 0}$ , trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: ${1/3 x + 1/2 y \le 100}$ ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el $(0,0)$ .

${1/3\cdot 0 + 1/2\cdot 0 \le 100}$

${1/3\cdot 0 + 1/6\cdot 0 \le 80}$

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 4 zona de intersección de soluciones

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

${1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0, 200)}$

${1/3x + 1/6y = 80; \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (240, 0)}$

${1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ 1/3x + 1/6y=80 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (210, 60)}$

Ejercicios de programacion lineal 5

6 Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

${f(x, y) = 15x + 10y}$

${f(0, 200) = 15\cdot 0 + 10\cdot 200 = 2 000}$ €

${f(240, 0 ) = 15\cdot 240 + 10\cdot 0 = 3 600}$ €

${f(210, 60) = 15\cdot 210 + 10\cdot 60 = 3 750}$ € Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo ${L_{1}}$ y 60 del modelo ${L_{2}}$ para obtener un beneficio de $3 750$ € .

3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo ${A}$ con un espacio refrigerado de $20$ m³ y un espacio no refrigerado de $40$ m³. Los del tipo ${B}$ , con igual cubicaje total, al $50$ % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de $3 000$ m³ de producto que necesita refrigeración y $4 000$ m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo ${A}$ es de $30$ € y el ${B}$ de $40$ €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{camiones de tipo} \; A}$

${y = \mbox{camiones de tipo} \; B}$

2 Función objetivo

${f(x,y) = 30x + 40y}$

3 Restricciones

	${A}$	${B}$	Total
Refrigerado	$20$	$30$	$3 000$
No refrigerado	$40$	$30$	$4 000$

${20x + 30y \ge 3 000}$

${40x + 30y \ge 4 000}$

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 6

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 7

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(0, 400/3) = 30 \cdot 0 + 40 \cdot 400/3 = 5 333.332}$

${f(150, 0) = 30 \cdot 150 + 40 \cdot 0 = 4 500}$

Como ${x}$ e ${y}$ han de ser números naturales redondeamos el valor de ${y}$ .

${f(50, 67) = 30 \cdot 50 + 40 \cdot 67 = 4180}$

Por defecto, veamos que valor toma la ${x}$ para ${y = 66}$ en la ecuación ${20x + 30y = 3000}$ que pertenece al recinto de las soluciones factibles; ${x = 51}$ . Obtenemos un número natural

${f(51, 66) = 30 \cdot 51 + 40 \cdot 66 = 4170}$

El coste mínimo son ${4 170}$ € para ${A = 51}$ y ${B = 66}$

4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de $15$ unidades de una sustancia ${A}$ y otras $15$ de una sustancia ${B}$ . En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo ${X}$ con una composición de una unidad de ${A}$ y $5$ de ${B}$ , y el otro tipo, ${Y}$ , con una composición de cinco unidades de ${A}$ y una de ${B}$ . El precio del tipo ${X}$ es de $10$ euros y del tipo ${Y}$ es de $30$ €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

1 Elección de las incógnitas.

${x = X}$

${y = Y}$

2 Función objetivo

${f(x,y) = 10x + 30y}$

3 Restricciones

	${X}$	${Y}$	Mínimo
${A}$	$1$	$5$	$15$
${B}$	$5$	$1$	$15$

${x + 5y \ge 15}$

${5x + y \ge 15}$

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 8

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 9

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(0, 15) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 15 = 450}$

${f(15, 0) = 10 \cdot 15 + 30 \cdot 0 = 150}$

${f(5/2, 5/2) = 10 \cdot 5/2 + 30 \cdot 5/2 = 100}$ Mínimo

El coste mínimo son ${100}$ € para ${X = 5/2}$ e ${Y = 5/2}$ .

5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer $600$ cuadernos, $500$ carpetas y $400$ bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá $2$ cuadernos, $1$ carpeta y $2$ bolígrafos; en el segundo, pondrán $3$ cuadernos, $1$ carpeta y $1$ bolígrafo. Los precios de cada paquete serán $6.5$ y $7$ €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1 Elección de las incógnitas.

${x = P_{1}}$

${y = P_{2}}$

2 Función objetivo

${f(x, y) = 6.5x + 7y}$

3 Restricciones

	${P_{1}}$	${P_{2}}$	Disponibles
Cuadernos	$2$	$3$	$600$
Carpetas	$1$	$1$	$500$
Bolígrafos	$2$	$1$	$400$

${2x + 3y \le 600}$

${x + y \le 500}$

${2x + y \le 400}$

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 10

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 11

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(x,y) = 6.5 \cdot 200 + 7 \cdot 0 = 1300}$ €

${f(x,y)= 6.5 \cdot 0 + 7 \cdot 200 = 1 400}$ €

${f(x,y)= 6.5 \cdot 150 + 7 \cdot 100 = 1 675}$ € Máximo

La solución óptima son 150 ${P_{1}}$ y 100 ${P_{2}}$ con la que se obtienen $1 675$ €

6Unos grandes almacenes desean liquidar $200$ camisas y $100$ pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, $A$ y $B$ . La oferta $A$ consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a $30$ €; la oferta $B$ consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a $50$ €. No se desea ofrecer menos de $20$ lotes de la oferta $A$ ni menos de $10$ de la $B$ . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{n\'umero de lotes de A}}$

${y = \mbox{n\'umero de lotes de B}}$

2 Función objetivo

${f(x, y) = 30x + 50y}$

3 Restricciones

	A	B	Mínimo
Camisas	$1$	$3$	$200$
Pantalones	$1$	$1$	$100$

${x + 3y \le 200}$

${x + y \le 100}$

${x \ge 20}$

${ y \ge 10}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 12

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 13

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 10 = 1100}$ €

${f(x, y) = 30 \cdot 90 + 50 \cdot 10 = 3200}$ €

${f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 60 = 3600}$ €

${f(x, y) = 30 \cdot 50 + 50 \cdot 50 = 4000}$ € Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de $4000$ €.

7Se dispone de $600$ g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan $40$ g y las pequeñas $30$ g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de $2$ € y la pequeña de $1$ €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{Pastillas grandes}}$

${y = \mbox{Pastillas peque\~nas}}$

2 Función objetivo

${f(x, y) = 2x + y}$

3 Restricciones

${40x + 30y \le 600}$

${x \ge 3}$

${y \ge 2x}$

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 14

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 15

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(x, y) = 2 \cdot 3 + 16 = 22}$ €

${f(x, y) = 2 \cdot 3 + 6 = 12}$ €

${f(x, y) = 2 \cdot 6 + 12 = 24}$ € Máximo

El máximo beneficio es de $24$ €, y se obtiene fabricando $6$ pastillas grandes y $12$ pequeñas.

8Una escuela prepara una excursión para $400$ alumnos. La empresa de transporte tiene $8$ autobuses de $40$ plazas y $10$ de $50$ plazas, pero sólo dispone de $9$ conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta $800$ € y el de uno pequeño $600$ €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

1 Elección de las incógnitas.

${x = \mbox{autobuses peque\~nos}}$

${y = \mbox{autobuses grandes}}$

2 Función objetivo

${f(x, y) = 600x + 800y}$

3 Restricciones

${40x + 50y \ge 400}$

${x + y \le 9}$

${x \ge 0}$

${y \ge 0}$

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Ejercicios de programacion lineal 16

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Ejercicios de programacion lineal 17

6 Calcular el valor de la función objetivo

${f(0, 8) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 8 = 6 400}$ €

${f(0, 9) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 9 = 7 200}$ €

${f(5, 4) = 600 \cdot 5 + 800\cdot 4 = 6 200}$ € Mínimo

El coste mínimo es de $6 200$ €, y se consigue $4$ autobuses grandes y $5$ pequeños.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Verónica Mero

Junio 2022

b) Una empresa dispone de dos talleres, Y y Z, en los cuales se fabrican conjuntos deportivos. Se considera una producción total de 8000 pares de conjuntos deportivos.
 El 47 % de los conjuntos deportivos se fabrican en el taller Y y el resto en el taller Z.
 El 39 % de los conjuntos deportivos que se fabricaron en el taller Y, están defectuosas
 El 14% de los conjuntos deportivos que se fabricaron en el taller Z, están defectuosas.

daniel fernandez orellana

Abril 2022

alguen me podria ayudar 2. Una tienda ofrece un descuento del 10% al cliente que tenga una edad de 40 años y de 20 % a un cliente que tenga 50 años a 60 Para los que son mayores a 60 años 50% de descuento. Para los menores de 40 años no hay descuento por jóvenes.
Hacer el programa que pida el nombre del cliente y su edad y el total comprado y calcule la cantidad de pago de acuerdo a su edad

rgrehg

Abril 2022

Se desea producir 12 000 Kg/día en tres turnos de trabajo y con dos líneas de
producción ( A la salida) ; Línea A y Línea B, como tops en la planta lavado
peinado, teniendo en consideración los resultados del ejerció para 100 kg a nivel de
laboratorio, cuya base de cálculo serán los rendimientos realizados para ejecutar los
nuevos cálculos expresados en Kg/h. Calcular:
a. Realice los nuevos cálculos
b. Diagrama de flujo de bloques
c. Esquema horizontal
d. Materiales que ingresan y salen

Karen

Abril 2022

Una señora compra 72 m2 de tela en $600000, con las dos terceras partes elabora 20 blusas que vende a $25000 cada una, con las tres cuartas partes del resto elabora 30 pantalones que vende a $30000 cada uno y finalmente con el resto elabora 4 vestidos que vende a $50000, cada uno para realizar este trabajo le paga a dos empleadas un salario diario de $45000 cada una y ellas trabajan 3 dias, debes hallar:
¿Cuánta tela empleó para hacer las blusas?
¿Cuánta tela empleó para hacer los pantalones?
¿Cuánta tela empleó para hacer los vestidos?
¿Cuánto dinero ganó en este negocio?

Yolanda

Mayo 2022

A un precio de $ 900,una distribuidora puede ubicar en el mercado 2000 unidades de una máquina . Pero si se baja el precio a $ 750 , serán 3000 las unidades vendidas. Si la ecuación de la oferta es p=1/10x + 200,determina: a) la ecuación de la demanda, suponiendo lineal, b)encuentra el precio y la cantidad de equilibrio

Luisa

Abril 2022

Hola buenas noches me gustaría recibir ayuda para resolver un ejercicio de programación lineal que dice lo siguiente:
una empresa de utensilios de cocina desea liquidar 1500 vasos y 1020 platos de la temporada navideña, para ello lanzan dos ofertas A y B

La oferta A consiste en un paquete de 3 vasos y 6 platos que se venden a $150.00 pesos; el paquete B consiste en 2 vasos y 1 plato, que se venden a $85.00 pesos, el negocio solo vende mayoreo, por lo que mínimo hay que pedir 15 paquetes de la oferta A y al menos 10 paquetes de oferta B

¿Cuántos paquetes hay que vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

ariadna

Marzo 2022

hola necesito ayuda
Una empresa tiene dos productos, el primer producto requiere 2 unidades de la materia prima 1 y uno de la materia
prima 2. El segundo producto requiere 3 unidades de la materia prima 1 y 5 de la materia prima 2. Cada unidad del
producto 1 tiene una utilidad de $850 y del producto 2 de $750. Se tienen como máximo 350 unidades de la materia
prima 1 y 270 de la materia prima 2. ¿Cuál es la mezcla de productos para tener las mayores utilidades?

Guada Cardozo

Junio 2022

Hola me pueden ayudar
Inciones de dos variables independientes. Una empresa fabrica dos productos. Ay B , x es el número de unidades de A e y el número de unidades de B. Siendo C(x,y) = 2x ² – 2xy + y²- 7x + 10y + 12 la función costo total y + 1(x ,y) = 5x + 4y la función ingreso. Determinar el número de unidades de cada tipo que se deben fabricar para maximizar la ganancia wal es la máxima ganancia

GONZALO C. M.

Febrero 2022

3. Del siguiente enunciado : Una empresa produce dos tipos de tela, tela tipo A y tela Tipo B, de la cual al momento de vender un metro de tela tipo A se percibe un ingreso de $400, mientras que cuando se vende un metro de tela tipo B se percibe un ingreso de $350. Se utilizan 2.5kg de hilo tipo “a” para fabricar un metro de tela tipo A y 3kg hilo tipo “b”. Mientras que para fabricar un metro de tela tipo B se utilizan 2.8 kg de hilo tipo “a” y 2.7kg de hilo tipo “b”. El recurso con el que dispone la empresa por ahora es de 500kg de hilo tipo “a” y 300kg de hilo tipo “b”. Establezca matemáticamente la restricción referente a la disponibilidad de hilo tipo “a”

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