En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, las cuales llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienta de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.
Ejercicios de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 
m de tejido de algodón y 
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 
m de algodón y 
m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 
m de algodón y m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 
€ y el de la chaqueta en 
€. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| pantalones | chaquetas | disponible | |
|---|---|---|---|
| algodón | | | |
| poliéster | | | |
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
Como 
entonces el punto se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 
pantalones y 
chaquetas para obtener un beneficio de 
€.
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara 
y 
. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo y de 
minutos para el ; y un trabajo de máquina para y de 10 minutos para . Se dispone para el trabajo manual de 
horas al mes y para la máquina 
horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 
y 
euros para y , respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
 |  | Tiempo | |
|---|---|---|---|
| Manual |  |  | |
| Máquina | |  | |
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo y 60 del modelo para obtener un beneficio de 
€ .
Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo 
con un espacio refrigerado de 
m³ y un espacio no refrigerado de m³. Los del tipo 
, con igual cubicaje total, al % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 
m³ de producto que necesita refrigeración y 
m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo es de € y el de €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| | Total | |
|---|---|---|---|
| Refrigerado | | | |
| No refrigerado | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Como 
e 
han de ser números naturales redondeamos el valor de .
Por defecto, veamos que valor toma la para 
en la ecuación 
que pertenece al recinto de las soluciones factibles; 
. Obtenemos un número natural
El coste mínimo son 
€ para 
y 
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de unidades de una sustancia y otras de una sustancia . En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo 
con una composición de una unidad de y 
de , y el otro tipo, 
, con una composición de cinco unidades de y una de . El precio del tipo es de euros y del tipo es de €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| | | |
| | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Mínimo
El coste mínimo son 
€ para 
e 
.
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 
cuadernos, 
carpetas y 
bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá cuadernos, carpeta y bolígrafos; en el segundo, pondrán 
cuadernos, carpeta y bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 
y 
€, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
 |  | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Cuadernos | | | |
| Carpetas | | | |
| Bolígrafos | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
La solución óptima son 150 y 100 con la que se obtienen 
€
Unos grandes almacenes desean liquidar 
camisas y pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, 
y 
. La oferta consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a €; la oferta consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a €. No se desea ofrecer menos de lotes de la oferta ni menos de de la . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Camisas | | | |
| Pantalones | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 
€.
Se dispone de g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan g y las pequeñas g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de € y la pequeña de €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
El máximo beneficio es de 
€, y se obtiene fabricando 
pastillas grandes y 
pequeñas.
Una escuela prepara una excursión para alumnos. La empresa de transporte tiene 
autobuses de plazas y de plazas, pero sólo dispone de 
conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 
€ y el de uno pequeño €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
El coste mínimo es de 
€, y se consigue 
autobuses grandes y pequeños.
Una empresa fabrica dos tipos de perforadoras, una manual y la otra automática. La perforadora automática requiere de horas para ser armada y horas de prueba dejando una utilidad de 
€, por otro lado la manual requiere de horas de armado y horas de prueba dejando una utilidad de 
€. Si la empresa dispone de 
horas de mano de obra al mes para armado y horas para prueba ¿Cuántas perforadoras deben producirse de cada modelo para maximizar las utilidades?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P. Automática | P. Manual | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Horas de armado | | | |
| Horas de prueba | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 48 perforadoras automáticas y con 20 perforadoras manuales se obtiene la utilidad máxima de 104,800€.
Una mueblería fabrica sofás y sillas, para producir un sofá se requieren minutos de trabajo manual y minutos de máquina y para producir una silla requiere de minutos de trabajo manual y minutos de máquina. Se dispone de horas al mes de trabajo manual y 
horas al mes de máquina. Si la utilidad de los sofás es de € y de las sillas es de €, ¿cuál debe ser el plan de producción para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Sofás | Sillas | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Horas trabajo manual | | | |
| Horas trabajo en máquina | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La mueblería debe producir 96 sofás y 336 sillas con lo cual maximizará el beneficio que será de 6,960€.
La empresa de tejidos S.A dispone de dos puntos industriales para confeccionar dos productos y . En el punto industrial , se requiere de 
horas de trabajo para elaborar el producto y hora para el producto ; mientras, en el punto industrial , se requiere horas para confeccionar cualquiera de los dos productos. Si los puntos y solo disponen de 
horas y 
horas, respectivamente. Sabiendo que las utilidades por unidad del producto son € y € por unidad del producto , ¿cuántas unidades de cada producto se debe confeccionar para máximizar la utilidad?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Punto 1 | | | |
| Punto 2 | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
que debe ser redondeado a 
porque solo se permiten números naturales.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La empresa debe confeccionar 24 productos A y 66 productos B con la finalidad de obtener la máxima utilidad de 540€.
Una panadería cuenta con 6 kilos de azúcar y 80 huevos en su inventario para producir dos tipos de panes. El pan de tipo I requiere 300 gramos de azúcar y 8 huevos para su elaboración mientras que el pan de tipo II emplea 400 gramos de azúcar y 4 huevos. Si el precio de venta del pan de tipo I es de 5 € y el de tipo II es 9 €. ¿Qué número de cada tipo de pan deben producirse un mayor ingreso?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| tipo I | tipo II | disponible | |
|---|---|---|---|
| azúcar |  |  | |
| huevos |  |  | |
Como el número de piezas de pan de tipo I y tipo II son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
Como 
entonces el punto se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices
€
€
€
La solución óptima es fabricar panes de tipo II para obtener un beneficio de €.
Una compañía vende dos tipos de café 
y 
. Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo 
que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
 |  | kilos | |
|---|---|---|---|
| Primera clase |  |  | |
| segunda clase | | | |
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de 
€ .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
Una compañía vende dos tipos de café y . Para su elaboración se necesita combinar 200 gramos de café de primera y 300 gramos de segunda clase para el tipo el cual se vende en 15 € y 300 gramos de primera clase con 200 gramos de segunda para el tipo que se vende en 20 €. Se dispone de 12 kilos de café de primera clase y 12 kilos de segunda para la elaboración de los dos tipos. Planifica la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
kilos
Primera clase
segunda clase
Como el número de unidades son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es producir 24 unidades del tipo y 24 del tipo para obtener un beneficio de € .
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Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Funcion objetivo: Z=6.5x+7y
Restricciones:
2x+3y<=600
x+y<=500
2x+y<=400
Cual es la solucion optima?
hola , necesito si me pueden ayudar con estos ejercicios de grafico lineal, Programación lineal para minería
Ejercicio 1: Una faena minera debe planificar el despacho de dos tipos de roca: dura y blanda. Se exige como mínimo despachar 10 toneladas de roca dura y 20 toneladas de roca blanda durante el turno. Además, por limitaciones operacionales, el total entre ambos tipos no puede superar las 100 toneladas.
Cada tonelada de roca dura genera 9 dólares de utilidad y cada tonelada de roca blanda genera 12 dólares. El objetivo de la empresa es decidir cuántas toneladas de cada tipo despachar para obtener la mayor utilidad posible.
Ejercicio 2: En una faena se utilizan dos tipos de camiones para transporte de material: tipo A y tipo B. Durante el turno se debe cumplir, como mínimo, con una meta de 20 viajes en total combinando ambos tipos de camión. Adicionalmente, considerando la capacidad de carga, se requiere trasladar al menos 37 toneladas equivalentes en total.
Cada camión tipo A que se programa para el turno realiza 3 viajes y aporta 5 toneladas equivalentes, mientras que cada camión tipo B realiza 2 viajes y aporta 4 toneladas equivalentes. El costo de operación del turno es de 760 dólares por cada camión tipo A programado y 600 dólares por cada camión tipo B.
La jefatura debe decidir cuántos camiones de cada tipo programar para cumplir las metas de viajes y de toneladas al menor costo posible.
Ejercicio 3: Una cuadrilla de transporte puede realizar dos tipos de viajes: cortos y largos. Cada viaje corto consume 15 unidades de tiempo operativo y cada viaje largo consume 25 unidades. Para el turno se dispone, como máximo, de 600 unidades de tiempo.
Por razones logísticas, no se pueden realizar más de 40 viajes cortos ni más de 18 viajes largos. Cada viaje corto genera 500 dólares de ingreso y cada viaje largo 800 dólares. Se pide determinar cuántos viajes de cada tipo conviene realizar para maximizar el ingreso total, respetando las limitaciones indicadas.
Ejercicio 4: Un contratista dispone de camiones de dos tipos para cumplir con una obligación mínima de transporte. Cada camión del primer tipo contribuye con 8 unidades de capacidad a la meta exigida y cada camión del segundo tipo aporta 5 unidades. En total, se debe alcanzar al menos 40 unidades de capacidad.
Por disponibilidad, no se pueden programar más de 6 camiones del primer tipo ni más de 10 camiones del segundo tipo. El costo por camión del primer tipo es de 600 dólares y el del segundo tipo es de 350 dólares. Se requiere planificar cuántos camiones de cada tipo utilizar para cumplir la exigencia al menor costo posible.
Ejercicio 5: Una planta puede procesar una mezcla de mineral de alta ley y de baja ley. Por restricciones de capacidad, la suma de toneladas procesadas entre ambos no puede superar las 50 toneladas.
La política de calidad exige que, dentro de la mezcla total, al menos el 40 por ciento corresponda a mineral de alta ley. Además, por disponibilidad de mineral, no se pueden procesar más de 35 toneladas de baja ley.
Cada tonelada de alta ley genera 200 dólares de ingreso y cada tonelada de baja ley 120 dólares. Determine cuántas toneladas de cada tipo conviene procesar para maximizar el ingreso, respetando las condiciones.
Ejercicio 6: Se programan dos tipos de tronaduras: en macizo compacto y en material fracturado. Cada tronadura en macizo compacto consume 4 unidades de un primer recurso y 2 unidades de un segundo recurso. Cada tronadura en material fracturado consume 2 unidades del primer recurso y 3 del segundo.
Para el turno se dispone, como máximo, de 20 unidades del primer recurso y 12 unidades del segundo. La utilidad esperada es de 300 dólares por cada tronadura en macizo compacto y 200 dólares por cada tronadura en material fracturado. Se solicita determinar cuántas tronaduras de cada tipo realizar para maximizar la utilidad.
Ejercicio 7: La operación requiere mover material utilizando equipos que pueden trabajar en rampa interna y en rampa externa. Cada jornada en rampa interna aporta 3 unidades de avance a la meta de movimiento y cada jornada en rampa externa aporta 2 unidades. La meta mínima de avance a cumplir durante el periodo es de 60 unidades.
No es posible asignar más de 30 jornadas a rampa interna ni más de 40 jornadas a rampa externa. El costo por jornada en rampa interna es de 50 dólares, mientras que en rampa externa es de 30 dólares. Se debe planificar la asignación de jornadas entre ambas rampas de manera de cumplir la meta al menor costo.
Ejercicio 8: Una correa transportadora puede operar con dos tipos de fragmentos: finos y gruesos. Por seguridad y capacidad, no se deben transportar más de 20 unidades de fragmentos finos ni más de 25 unidades de fragmentos gruesos.
Adicionalmente, por restricciones de flujo, cada unidad de fragmentos finos equivale al doble del impacto en capacidad que una unidad de fragmentos gruesos; por ello, el total combinado no debe superar un límite de 40 unidades equivalentes (contando dos por cada unidad de finos y una por cada unidad de gruesos).
El valor generado es de 80 dólares por cada unidad de finos y 140 dólares por cada unidad de gruesos. Determine la combinación que maximiza el valor, cumpliendo las restricciones operacionales.
Ejercicio 9: Un camión puede transportar una mezcla de mineral de alta densidad y de baja densidad. La capacidad del camión impide que la suma de unidades de ambos tipos supere 40. Además, por disponibilidad, no se pueden cargar más de 30 unidades de alta densidad.
La contribución económica por unidad es de 100 dólares para el mineral de alta densidad y 60 dólares para el de baja densidad. Determine la carga de cada tipo que maximiza la ganancia, respetando los límites de capacidad y disponibilidad.
Ejercicio 10: Para abastecer una planta se utilizan dos tipos de carguío: tipo 1 y tipo 2. Cada unidad del tipo 1 aporta 4 unidades hacia una meta de abastecimiento y cada unidad del tipo 2 aporta 5 unidades. Durante el periodo se debe alcanzar, como mínimo, un total de 70 unidades aportadas entre ambos tipos.
Por restricciones de disponibilidad, no se pueden realizar más de 12 unidades del tipo 1 ni más de 15 unidades del tipo 2. El costo operativo es de 40 dólares por cada unidad del tipo 1 y 55 dólares por cada unidad del tipo 2. Se requiere definir cuántas unidades de cada tipo realizar para cumplir la meta al menor costo posible.
NO ENTIENDO ESTE PROBLEMA !Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Hola con gusto te explicamos, la programación lineal es un método para encontrar puntos de equilibrio para la solución de problemas que se relacionan con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, usando graficas y métodos analíticos, en este problema se plantea una función para calcular la ganancia y dos ecuaciones con dos incógnitas para encontrar el máximo de ganancias en su punto de solución.
Si hay alguna parte en concreto en que no entiendes puedes señalarlo.
Construye los modelos de Programación Lineal
2. Se tiene disponible en total 8000 kilogramos de Carbonato de Sodio al mes,
donde para producir un pie
2 de los distintos tipos de vidrio se necesita: 2
Kilogramos para vidrio sencillo, 3 kilogramos para vidrio doble y 3 kilogramos
para vidrio catedral.
me puedes ayudar con resolver la solucion del problema del agricultor jones debe decidir cuantos acres de maiz y trigo tiene que plantar este año. un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas de trabajo a la semana.
un acre de maiz produce 10 bushed de maiz y requiere 4 horas de trabajo a la semana.
todo el trigo se vende a 4 doleres el busheld y el maiz se vende a 3 dolares el busheld. se dispone de 7 acres de tierra y 40 horas por semana de trabajo. las regulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 busheld de maiz se produzca durante el año actual.
hola necesito ayuda para resolver e siguiente ejercicio.
Una empresa de logística administra una flota de camiones para el
transporte de mercancías entre tres ciudades: A, B y C. Cada viaje genera
ingresos de $500,
$400 y $600 respectivamente. Los recursos disponibles son:
• Combustible: 800 litros.
• Tiempo de conducción: 600 horas.
• Personal de carga: 300 horas.
Cada viaje requiere los siguientes recursos:
• Ciudad A: 40 litros de combustible, 30 horas de conducción y 20
horas de carga.
• Ciudad B: 30 litros de combustible, 25 horas de conducción y 15
horas de carga.
• Ciudad C: 50 litros de combustible, 35 horas de conducción y 25
horas de carga.
¿Cuántos viajes deben programarse a cada ciudad para maximizar los
ingresos totales?
3. Un pequeño pero próspero negocio se dedica a la fabricación de Batas y Trusas en Medellín. Hacer una bata requiere 30 minutos de corte y 20 minutos de
fileteado. Hacer una trusa requiere 15 minutos de corte y 30 minutos de fileteado. La utilidad por cada bata fabricada y vendida es de 20.000 y la utilidad por
cada trusa fabricada y vendida es de 25.000. El negocio opera por un máximo de ocho (8) horas diarias. Su principal aliado es Batas de Seda S.A. una
comercializadora exitosa que le exige al menos la entrega de dos batas diarias. Determine cuantas batas y trusas deben ser fabricadas diariamente para
maximizar la utilidad de las ventas
una empresa desea maximizar sus ganancias mediante publicidad en television y redes sociales .Cada minuto de television genera 1000 unidades de ganancia y cada hora en redes sociales genera 500.El presupuesto es de 20,000 unidades y los costos son 200 por minuto de television y 1000 por hora en redes sociales .El maximo de horas en reds sociales es de 50 y en televisión es 30
Es un ejemplo de una ecuación utilizada en la programación lineal.
Pregunta 1Respuesta
a.
Y = 23 + 20×2 + 40y
b.
Z = x + 45y
c.
Z = x + 45y3
d.
Y = 20y + 20yx2