Distribución Binomial

En esta sección encontrarás el contenido necesario para repasar la teoría de la distribución binomial y practicar con ejercicios tradicionales e interactivos. La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta. Representa el número de aprobados entre n pruebas elementales siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

Para cada prueba, son posibles dos tipos de resultados:

• A (éxito) y A* (fracaso)
• La probabilidad de éxito (π) es la misma en cada prueba: probabilidad constante de éxito π (probabilidad de fracaso=1-π)
• Se repite la prueba elemental un número fijo n

Distribución binomial

Una distribución binomial, en estadística, es una distribución de probabilidad discreta (función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra) que describe el número de éxitos al realizar n experimentos o ensayos de Bernoulli independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. ¿Te parece demasiado complicado? ¡Vamos a ver un ejemplo para que lo entiendas mejor!

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por tener solo dos resultados. Uno de ellos se denomina «éxito» y al otro, «fracaso». Por ejemplo, imagínate el lanzamiento de una moneda cuyo resultado de «sacar cara» es el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

De este modo, en otras palabras, la distribución binomial se define como una serie de experimentos o ensayos en los que solo podemos tener 2 posibles resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito la variable aleatoria.

Por ejemplo, al lanzar un dado, la posibilidad de que el resultado sea par o impar será exactamente la misma: el 50 %. Y por muchas veces que lo lancemos, la probabilidad, en cada una de esas veces, seguirá siendo el 50 %. Igual que en el ejemplo de la moneda.

En la distribución binomial hay tres variables:

• n es el número de veces que repetimos el experimento.
• p es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.
• q es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso.

La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa. Por eso, como p y q son los dos únicos resultados posibles, entre los dos su porcentaje debe sumar uno, por lo que p =1- q.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

• Como hemos dicho, en cada ensayo, experimento o prueba solo puede haber dos posibles resultados (éxito o fracaso).
• La probabilidad de éxito ha de ser constante. Por ejemplo, la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado es 0,5 y esta es constante dado que el dado no cambia en cada ensayo y las probabilidades de sacar par es constate.
• La probabilidad de fracaso ha de ser también constate.
• Cada experimento es independiente de los demás y no influye en las probabilidades de los que hagamos posteriormente, por lo que en cada uno la probabilidad de que se dé uno de los dos resultados será exactamente la misma.
• Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo. Al lanzar un dado, no puede salir par e impar a la vez, ni al lanzar una moneda puede salir cara y cruz al mismo tiempo.
• Los resultados son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no sale par, sale impar, y si no sale cara, sale cruz.
• La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar así: X ~ (n, p), donde, como ya sabes, n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es la siguiente:

Donde:

• n = número de ensayos
• x = número de éxitos
• p = probabilidad de éxito
• q = probabilidad de fracaso (1-p)

Debes tener en cuenta que lo que está entre corchetes es un resultado de una combinatoria sin repetición, el cual se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación representa el símbolo de factorial, es decir el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Ejemplos de distribución binomial

Vamos a imaginar que un 80 % de las personas de todo el mundo vieron las Olimpiadas 2016 en Río de Janeiro. Una vez finalizadas, 4 amigos se reúnen para charlar. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos las hayan visto?

Lo primero que hay que hacer es definir las variables del experimento:

• n = 4 (el total de la muestra)
• x = número de éxitos (en este caso es igual a 3, ya que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos las hayan visto)
• p = probabilidad de éxito (0,8)
• q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas las variables, solo tenemos que sustituirlas en la fórmula:

El numerador del factorial se obtiene entonces multiplicando 4 · 3 · 2 · 1 = 24, mientras que en el denominador tendríamos que multiplicar 3 · 2 · 1 · 1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.

Fuera del corchete, hay dos números. El primero sería 0,8³=0,512 y el segundo es 0,2 (porque 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, el resultado final sería: 4 · 0,512 · 0,2 = 0,4096.

Si lo multiplicamos por 100, tenemos como resultado que hay una probabilidad del 40,96 % de que 3 de los 4 amigos hayan visto las Olimpiadas de Brasil.

Otro ejemplo: vamos a suponer que queremos coger un taxi, vamos a calcular la probabilidad de que el próximo taxi que pase esté libre u ocupado.

Definimos las variables del experimento. Vamos a asignar a la probabilidad de éxito (p), es decir, de que esté libre un 40 % (es decir: 0,4). Por tanto, la probabilidad de fracaso (q), es decir, de que esté ocupado, será 1-p, es decir, 1-0,4=0,6 o, lo que es lo mismo, el 60 %.

Vamos a calcular la probabilidad de que de 5 taxis, 2 estén libres.

El numerador del factorial se obtiene entonces multiplicando 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120, mientras que en el denominador tendríamos que multiplicar 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 120/12=10.

Fuera del corchete, tendríamos 0,4²=0,16 y 0,6³=0,002.

Por tanto, el resultado final sería: 10 · 0,16 · 0,002 = 0,0064.

Si lo multiplicamos por 100, tenemos como resultado que hay una probabilidad del 0,64 % de que 2 de los 5 taxis estén libres.

¿Lo tienes claro? ¿Por qué no practicas para acostumbrarte a la fórmula y que no se te escape nada?