Otras clases de probabilidades

En esta sección encontrarás el contenido necesario para repasar la teoría de la distribución normal y practicar con ejercicios tradicionales e interactivos. Se trata de una ley que regula la distribución de una variable (denominada en este caso variable normal) de manera que dicha distribución sea en forma de campana y sea simétrica. Así, se confunden la moda, la mediana y la media.

Distribución normal

En estadística y probabilidad, una distribución normal, también llamada distribución de Gauss, distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad de variable continua y es la que aparece con más frecuencia en estadística y en la teoría de probabilidades. Pero ¿qué es exactamente?

Pues es un modelo teórico que sirve para aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria continua a una situación ideal. ¡Te lo explicamos mejor! La distribución normal adapta una variable aleatoria continua a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria continua tendrán la misma representación, pero con ligeras diferencias.

¿Te suena el concepto de campana de Gauss? Se llama así a la gráfica de su función de densidad por tener una forma acampanada y es el gráfico de una función gaussiana. Es simétrica respecto a un determinado parámetro estadístico.

¿Y por qué esta distribución es tan importante? Porque con ella podemos modelar una gran cantidad de fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Normalmente, se desconocen los mecanismos de la mayoría de este tipo de fenómenos por su enorme cantidad de variables incontrolables. Sin embargo, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

La importancia de la distribución normal también radica en su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Aquí tienes algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la distribución normal:

  • caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
  • caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
  • caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
  • caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
  • nivel de ruido en telecomunicaciones;
  • errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

Historia de la distribución normal

El matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754) fue el que descubrió y presentó la distribución normal por primera vez en un artículo del año 1733, que también aparece en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, en relación a la aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n.

Su descubrimiento fue desarrollado posteriormente por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace. Laplace se sirvió de la distribución normal para analizar los errores de experimentos.

Entonces, ¿por qué se ha asociado el nombre de Gauss a esta distribución? Este matemático, astrónomo y físico alemán la usó con mucha frecuencia cuando analizaba datos astronómicos​ y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. ​

Por otra parte, el nombre de «campana» proviene del matemático francés Esprit Jouffret que empleó el término bell surface (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes.

Los que le atribuyeron el nombre de «distribución normal» fueron los científicos Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.

Definiciones de conceptos relacionados

A continuación, te indicamos los significados de algunos conceptos relacionados con la distribución normal:

  • Media. Número que resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto.
  • Moda. Valor que aparece con mayor frecuencia en una serie de medidas.
  • Mediana. Número central de un grupo de números ordenados por tamaño.
  • Desviación típica. Medida que se utiliza para cuantificar la variación o la dispersión de un conjunto de datos numéricos.
  • Varianza. Media de las desviaciones cuadráticas de una variable aleatoria, referidas al valor medio de esta.
  • Variable aleatoria. Función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio.

Fórmula de la distribución normal

Dada una variable aleatoria X, decimos que la frecuencia de sus observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal tal que: X ~ N (μ, σ), donde los parámetros de la distribución son la media o valor central (μ) y la desviación típica (σ).

En otras palabras, la frecuencia de una variable aleatoria X puede representarse mediante una distribución normal.   

Propiedades de la distribución normal

Estas son algunas de las propiedades más importantes de la distribución normal:

Es una distribución simétrica, por lo que el valor de la media, la mediana y la moda son iguales.

Es una distribución unimodal, por lo que los valores más cercanos a la media son los más frecuentes o los que tienen más probabilidad de aparecer. Es decir, cuanto más nos alejamos de la media, menos probabilidad habrá de que aparezcan los valores.

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.  Por una parte, la media indica la posición de la campana, de modo que la gráfica se desplaza a lo largo del eje horizontal según los diferentes valores de μ.

Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Así, cuanto mayor sea el valor de σ, más se espaciarán los datos en torno a la media y más plana será la curva. Por consiguiente, si obtenemos un valor pequeño de este parámetro, hay una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Cómo representar una distribución normal

A partir de una variable aleatoria continua, hay que calcular la media y la desviación típica. Después, debemos decidir la función que queremos representar: función de densidad de probabilidad o función de distribución.

Para entender mejor el concepto de distribución normal, te animamos a que leas todas las secciones de esta página y practiques con los ejercicios variados. Seguro que, con un poco de práctica y motivación, ¡te convertirás en un experto en la distribución normal!