Otras clases de álgebra lineal

Matrices

 

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, símbolos o expresiones (llamados entradas o elementos de la matriz) que están ordenados en filas y columnas. Las filas son las líneas horizontales de la matriz y las columnas son las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina «matriz m x n».

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A, B…) y sus elementos se representan con la misma letra pero en minúscula (a, b…). Estas tienen un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Los elementos individuales de una matriz m x n se suelen denotar aij por donde el máximo valor de i es m, y el máximo valor de j es n.

Las matrices se pueden sumar, multiplicar y descomponer de diferentes maneras y constituyen elementos importantes del álgebra lineal.

Siempre que tengan el mismo tamaño (es decir, que todas las matrices tengan el mismo número de filas y el mismo número de columnas), se pueden sumar o restar dos matrices elemento por elemento.

La regla para la multiplicación de matrices, sin embargo, es que dos matrices se pueden multiplicar solo cuando el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. Más adelante volveremos a este punto para explicarlo más detalladamente.

Para expresar convenientemente un elemento de los resultados de las operaciones matriciales, los índices del elemento a menudo se adjuntan a la expresión matricial entre paréntesis o entre corchetes; por ejemplo, (AB) i,j hace referencia a un elemento de un producto de matriz.

 

Operaciones básicas

Hay una serie de operaciones básicas que se pueden aplicar para modificar matrices, como la suma y la resta de matrices, la multiplicación de matrices y la multiplicación escalar o la división.

La suma de dos o más matrices, como hemos dicho, solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Para ello, los elementos de las matrices deben sumarse con los que coincidan en la misma posición en las demás matrices. Por otro lado, para restar dos o más matrices, hay que hacer lo mismo que en la suma, pero restando.

En el caso de la multiplicación de dos matrices, ya hemos comentado que el número de columnas de la primera matriz tiene que ser igual al número de filas de la segunda matriz. Pero ¿cómo se obtiene el resultado? Pues hay que coger la primera fila de la primera matriz, multiplicarla por la primera columna de la segunda matriz y sumar sus elementos.

También podemos multiplicar una matriz por un escalar. Para ello, hay que multiplicar todos los elementos de la matriz por el escalar.

Finalmente, para dividir las matrices hay que multiplicar la matriz que hace de numerador por la matriz inversa que hace de denominador. Como en el caso de la multiplicación, también se puede dividir una matriz por un escalar. Para ello, en vez de multiplicar, hay que dividir los elementos de la matriz por el escalar.

Estas son las operaciones más básicas que se pueden hacer con las matrices, pero hay otras como la transposición, las operaciones de fila y la submatriz. ¡No dudes en seguir profundizando en el tema!

 

Aplicaciones de las matrices

Una aplicación importante de las matrices es representar transformaciones lineales, es decir, generalizaciones de funciones lineales como f(x) = 4x. Por ejemplo, la rotación de vectores en un espacio tridimensional es una transformación lineal, que se puede representar mediante una matriz de rotación R: si v es un vector columna (una matriz con una sola columna) que describe la posición de un punto en el espacio, el producto Rv es un vector columna que describe la posición de ese punto después de una rotación. El producto de dos matrices de transformación es una matriz que representa la composición de dos transformaciones.

Otra aplicación de las matrices es la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Si la matriz es cuadrada, es posible deducir algunas de sus propiedades calculando su determinante. Por ejemplo, una matriz cuadrada tiene una inversa siempre y cuando su determinante no sea cero. Se puede obtener información sobre la geometría de una transformación lineal (junto con otra información) a partir de los valores y factores propios de la matriz.

Las aplicaciones de matrices se pueden encontrar en la mayoría de los campos científicos. En todas las ramas de la física, incluidas la mecánica clásica, la óptica, el electromagnetismo, la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica, se utilizan para estudiar fenómenos físicos, como el movimiento de cuerpos rígidos. Por ejemplo, en los gráficos, se utilizan para manipular modelos 3D y proyectarlos en una pantalla bidimensional.

Por otro lado, en la teoría de la probabilidad y estadística, las matrices estocásticas se utilizan para describir conjuntos de probabilidades; por ejemplo, se utilizan dentro del algoritmo PageRank que clasifica las páginas en una búsqueda de Google. El cálculo matricial generaliza las nociones analíticas clásicas, como derivadas y exponenciales, a dimensiones superiores. Además, las matrices se utilizan en economía para describir sistemas de relaciones económicas.

Una rama importante del análisis numérico se dedica al desarrollo de algoritmos eficientes para cálculos matriciales, un tema que tiene siglos de antigüedad y que hoy en día es un área de investigación en expansión. Los métodos de descomposición de matrices simplifican los cálculos, tanto en la teoría como en la práctica. Los algoritmos que se adaptan a estructuras matriciales particulares, como matrices dispersas y matrices casi diagonales, agilizan los cálculos en el método de elementos finitos y otros cálculos.

Las matrices infinitas están presentes en la teoría planetaria y en la teoría atómica. Un ejemplo sencillo de una matriz infinita es la matriz que representa el operador derivado, que actúa sobre la serie de Taylor de una función.

Como ves, hay muchas aplicaciones para las matrices en campos muy importantes de la ciencia. Seguro que, con ejercicios prácticos y un poco de motivación, ¡las matrices ya no tendrán secretos para ti!