Propiedades de la distribución norma estándar

 

  • La distribución tiene la forma de una campana y la mayor parte del área de esta campana (Bell) se encuentra donde la media.
  • El área debajo de la campana es de 1, y se divide por 0.5 a la izquierda y 0.5 a la derecha de la media.
  • Es simétrica con respecto a la media.
  • La media, moda, y mediana coinciden.
  • Hay dos parámetros que determinan su forma: la media y la desviación estándar.

Recordando la definición de distribución normal.

 

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media \mu (-\infty < \mu < +\infty ) y desviación estándar \sigma (\sigma > \sigma ), si X tiene una distribución continúa cuya de densidad de probabilidad (f.d.p) es la siguiente:

    \displaystyle { f(x\mid\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\[-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\]} \qquad -\infty < x < \infty} }

 

Distribución normal estándar N(0, 1)

 

La distribución normal con media \mu = 0 y desviación típica \sigma = 1 se llama distribución normal estándar, o tipificada, o reducida. La función de densidad de probabilidad (f.d.p) de la distribución normal tipificada usualmente se denota por el símbolo {\bf\phi} y la función de distribución (f.d) se denota por el símbolo {\bf\Phi}. Entonces:

 

Su función de densidad de probabilidad es:

 

\displaystyle  { \phi(x)=f(x\mid 0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}{2}x^2)} \qquad -\infty < x < \infty} }

 

Y su función de distribución es:

 

\displaystyle { \Phi(x)=\int^x_{-\infty} \phi(u) du \qquad -\infty < x < \infty} }

donde el símbolo u se utiliza en la ecuación anterior como variable muda de integración.

Además, la gráfica de la f.d.p es:

 

ejemplo de una campana de gauss dibujo

 

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

 

Tipificación o normalización de la variable

 

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(\mu, \sigma) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1). Por lo que la operación necesaria es la siguiente:

 

\displaystyle  { Z = \frac{X-\mu}{\sigma} }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗