Distribución normal N(μ, σ)

Recordando la definición de distribución normal.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media μ (-∞ < μ < +∞) y desviación estándar σ (σ>0), si X tiene una distribución continúa cuya de densidad de probabilidad (f.d.p) es la siguiente:

${ f(x\mid\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\[-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\]} \qquad -\infty < x < \infty} }$

Distribución normal estándar N(0, 1)

La distribución normal con media μ = 0 y desviación típica σ = 1 se llama distribución normal estándar, o tipificada, o reducida. La función de densidad de probabilidad (f.d.p) de la distribución normal tipificada usualmente se denota por el símbolo ${\bf\phi}$ y la función de distribución (f.d) se denota por el símbolo ${\bf\Phi}$ . Entonces:

Su función de densidad de probabilidad es:

${ \phi(x)=f(x\mid 0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}{2}x^2)} \qquad -\infty < x < \infty} }$

Y su función de distribución es:

${ \Phi(x)=\int^x_{-\infty} \phi(u) du \qquad -\infty < x < \infty} }$

donde el símbolo u se utiliza en la ecuación anterior como variable muda de integración.

Además, la gráfica de la f.d.p es:

ejemplo de una campana de gauss

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación o normalización de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Por lo que la operación necesaria es la siguiente:

${ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} }$