Name: Distribucion normal estandar
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Distribución normal N(μ, σ)
Distribución normal estándar N(0, 1)
Tipificación o normalización de la variable

Distribución normal N(μ, σ)

Recordando la definición de distribución normal.

Se dice que una variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal con media $\mu (-\infty < \mu < +\infty )$ y desviación estándar $\sigma (\sigma > \sigma )$ , si $X$ tiene una distribución continúa cuya de densidad de probabilidad (f.d.p) es la siguiente:

$\displaystyle { f(x\mid\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\[-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\]} \qquad -\infty < x < \infty} }$

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Distribución normal estándar N(0, 1)

La distribución normal con media $\mu = 0$ y desviación típica $\sigma = 1$ se llama distribución normal estándar, o tipificada, o reducida. La función de densidad de probabilidad (f.d.p) de la distribución normal tipificada usualmente se denota por el símbolo ${\bf\phi}$ y la función de distribución (f.d) se denota por el símbolo ${\bf\Phi}$ . Entonces:

Su función de densidad de probabilidad es:

$\displaystyle { \phi(x)=f(x\mid 0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}{2}x^2)} \qquad -\infty < x < \infty} }$

Y su función de distribución es:

$\displaystyle { \Phi(x)=\int^x_{-\infty} \phi(u) du \qquad -\infty < x < \infty} }$

donde el símbolo u se utiliza en la ecuación anterior como variable muda de integración.

Además, la gráfica de la f.d.p es:

ejemplo de una campana de gauss dibujo

La probabilidad de la variable $X$ dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación o normalización de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$ . Por lo que la operación necesaria es la siguiente: