Aproximación de la binomial por la normal

 

Teorema de Moivre

 

Si

 

{n\cdot p \ge 5 \ \ \ \mbox{y} \ \ \ n\cdot q \ge 5}

 

La distribución binomial {B(n,p)} se puede aproximar mediante una distribución normal {N(np, \sqrt{npq})}, de manera que

 

{Z=\displaystyle\frac{X-np}{\sqrt{npq}}}

 

se aproxima a {N(0,1)}

 

Ejemplo:

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que tengan teléfono.

 

El total de familias se representa por {n=90}

 

La probabilidad de que una familia posea teléfono es {p=\displaystyle\frac{1}{3}}

 

La probabilidad de que una familia no posea teléfono es {q=1-p=\displaystyle\frac{2}{3}}

 

Verificamos que se cumplan las condiciones del Teorema de Moivre

 

{np=30 \cdot\displaystyle\frac{1}{3}>5, \ \ \ \ \ \ \ nq=30 \cdot\displaystyle\frac{2}{3}>5}

 

Tenemos del Teorema de Moivre que

 

{B\left(90,\displaystyle\frac{1}{3}\right) \ \ \longrightarrow N\left( 90\cdot \displaystyle\frac{1}{3}, \sqrt{90\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}}\right)=N(30, 4.47)}

 

La probabilidad de que por lo menos 30 familias tengan teléfono es

 

{P(X>30)=P\left(Z>\displaystyle\frac{30-30}{4.47}\right)=P(Z>0)=1-P(Z\le 0)=0.5}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗