Tabla de distribución normal

La tabla de distribución normal se utiliza para localizar valores definidos para la variable z.

 

Tabla de distribución normal 1

 

Tabla de distribución normal z

Te podemos ayudar a encontrar las mejores clases de matematicas primaria para que entiendas todo desde el principio.

Variable aleatoria en distribución normal

 

Si  X es una variable aleatoria de una distribución N(\mu, \sigma), hallar: P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma).

 

 

Si  X es una variable aleatoria de una distribución N(\mu, \sigma), hallar: P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma).

 

En este caso, se esta trabajando con una distribución normal estandar, para resolverlo utilizaremos la formula siguiente:

 

\displaystyle Z =\frac{X-\mu }{\sigma }

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &= P \left(\frac{(\mu - 3\sigma) - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{(\mu + 3\sigma) - \mu}{\sigma} \right)\\ &\\ &= P(- 3 \leq Z \leq 3)\\ &\\ &= P( Z \leq 3) - P(Z \leq -3) \end{align*}}

 

Ahora, tenemos que localizar en nuestra tabla de distribución normal, localizamos el valor cuando P(z \geq 3) = 0.0013, pero necesitamos el valor para cuando P)(z \leq 3), entonces se utiliza P(z \leq 3) = 1 - P( z \geq 3) entonces obtenemos que P(z \leq 3) = 1 - 0.0013 =0.9987 . Además, como la distribución normal es simétrica, tenemos que P(z \leq -3) = P(z \geq 3) = 0.0013.

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &= P( Z \leq 3) - P(Z \leq -3)\\ &\\ &= 0.9987 - 0.0013\\ &\\ &= 0.9974 \end{align*}}

 

Es decir, que aproximadamente el 99.74 \% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

 

Distribución normal, media y desviación típica:

 

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4-a \leq x \leq 4 + a) = 0.5934

 

 

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4-a \leq x \leq 4 + a) = 0.5934

 

Utilizando la formula  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media (  \displaystyle \mu ), y la desviación típica (  \displaystyle \sigma ).

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(4-a \leq x \leq 4 + a) &= P \left(\frac{(4-a) - 4}{2} \leq Z \leq \frac{(4+a) - 4}{2} \right)\\ &\\ &= 0.5934 \end{align*}}

 

Al simplificar, obtenemos:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P \left(\frac{-a}{2} \leq Z \leq \frac{a}{2} \right) &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - P \left(Z \leq \frac{-a}{2}\right)\\ &\\ &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - P \left(Z \geq \frac{a}{2}\right)\\ &\\ &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - (1 - P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right))\\ &\\ &= 2 \cdot P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) - 1\\ &\\ &= 0.5934 \end{align*}}

 

De donde se sigue que

 

\displaystyle {\scriptsize 2 \cdot P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) - 1 = 0.5934 \qquad \Rightarrow \qquad P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) = 0.7967}

 

Ahora localizamos en la tabla de distribución normal el valor 0.7969 y observamos que corresponde a P(Z \leq 0.83), entonces:

 

\displaystyle {\scriptsize \frac{a}{2} = 0.83\qquad \Rightarrow \qquad a = 1.66}

 

Distribución normal aplicada a la temperatura ambiental

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23^{\circ} y desviación típica 5^{\circ}.

 

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21^{\circ} y 27^{\circ}.

 

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23^{\circ} y desviación típica 5^{\circ}.

 

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21^{\circ} y 27^{\circ}.

 

Utilizando la formula  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media (23), y la desviación típica ( 5 ).

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(21 \leq X \leq 27) &= P \left( \frac{(21 - 23)}{5} \leq Z \leq \frac{(27 - 23)}{5} \right)\\ &\\ &= P(- 0.4 \leq Z \leq 0.8)\\ &\\ &= P( Z \leq 0.8) - P(Z \geq -0.4)\\ &\\ &= P( Z \leq 0.8) - (1 - P(Z \leq 0.4)) \end{align*}}

 

Buscamos los valores correspondientes en la tabla de distribución normal:

 

\displaystyle P( Z \leq 0.8) = 0.7881 \qquad \text{y} \qquad P(Z \leq 0.4) = 0.6554

 

Por lo tanto

 

     {\scriptsize \begin{align*} 30 \cdot P(21 \leq X \leq 27) &= 30 \cdot P \left( \frac{(21 - 23)}{5} \leq Z \leq \frac{(27 - 23)}{5} \right)\\ &\\ &= (30) (0.7881 - (1 - 0.6554)) &\\ &= (30)(0.4435) &\\ &= 13 \end{align*}}

 

Esto quiere decir, que en todo el mes, solo 13 días alcanzarán temperaturas entre 21 y 27 grados.

 

Distribución normal aplicada al peso de los estudiantes

 

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 \; kg y la desviación típica 3 \; kg.

 

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre 60 \; kg y 75 \; kg.

 

2 Más de 90 \; kg.

 

3 Menos de 64 \; kg.

 

4 64 \; kg.

 

5 64 \; kg o menos.

 

 

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 \; kg y la desviación típica 3 \; kg.

 

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre 60 \; kg y 75 \; kg.

 

Sustituyendo:

     {\scriptsize \begin{align*} P(60 < X \leq 75) &= P \left( \frac{(60 - 70)}{3} \leq Z \leq \frac{(75 - 70)}{3} \right)\\ &\\ &= P(- 3.33 \leq Z \leq 1.67)\\ &\\ &= P( Z \leq 1.67) - P(Z \geq -3.33)\\ &\\ &= P( Z \leq 1.67) - (1 - P(Z \leq 3.33)) \end{align*}}

Localizando los valores en la tabla de distribución normal y operando:

 

\displaystyle P( Z \leq 1.67) = 0.9525 \qquad \text{y} \qquad P(Z \leq 3.33) = 0.9996

 

Por lo tanto, si multiplicamos la probabilidad P(60 < X\le 75) por los 500 estudiantes tenemos

 

     {\scriptsize \begin{align*} 500 \cdot P(60 < X \leq 75) &= 500 \cdot P \left( \frac{(60 - 70)}{3} \leq Z \leq \frac{(75 - 70)}{3} \right)\\ &\\ &= (500) (0.9525 - (1 - 0.9996))\\ &\\ &= 476 \end{align*}}

 

De los 500 estudiantes 476 se encuentran entre los 60 y 75 kilogramos de peso.

2 Más de 90 \; kg.

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(X > 90) &= P \left( Z > \frac{(90 - 70)}{3} \right)\\ &\\ &= P( Z > 6.66)\\ &\\ &= 1 - P( Z \leq 6.66) \\ &\\ &= 1 - 1 &\\ &= 0 \end{align*}}

Multiplicando la probabilidad por 500 obtenemos

\displaystyle 500 \cdot P(X > 90) = (500)(0) = 0.

 

Es imposible hallar a un solo estudiante por encima de los 90 kilogramos.

 

3 Menos de 64 \; kg.

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

     {\scriptsize \begin{align*} P(X < 64) &= P \left( Z < \frac{(64 - 70)}{3} \right)\\ &\\ &= P( Z < -2)\\ &\\ &= 1 - P( Z < 2) \\ &\\ &= 1 - 0.9772\\ &\\ &= 0.0228 \end{align*}}

Multiplicando la probabilidad por 500 obtenemos

 

\displaystyle 500 \cdot P(X < 64) = (500)(0.0228) = 11.4

 

Hay 11 estudiantes que pesan menos de 64 kilogramos

 

4 64 \; kg.

 

Cuando la distribución es continua, la probabilidad de que la variable tenga un valor exacto siempre es nula (0). Por lo tanto

 

\displaystyle P(X = 64) = 0.

 

5 64 \; kg o menos.

 

Dados los resultados anteriores:

 

Existen cero estudiantes que pesan 64 kilogramos exactos y hay 11 estudiantes que pesan menos de 64 kilogramos, entonces, existen 11 estudiantes que pesan 64 kilogramos o menos.

 

\displaystyle 500 \cdot P(X < 64) = 500 \cdot P(X \leq 64) = 11.

¿Te pierdes y necesitas refuerzo? No te preocupes, en Superprof te ayudamos con las clases de matematicas secundaria.

Distribución normal para la aplicación de exámenes

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36.

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25 \% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72, ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

 

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

 

Sustituimos los valores en la formula:

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 72) &= P \left( Z > \frac{(72 - 78)}{36} \right)\\ &\\ &= P(Z > -0.1666)\\ &\\ &= P( Z < 0.1666) \\ &\\ &= 0.5636 \end{align*}}

 

La probabilidad de que una persona obtenga una puntuación mayor a 72 al presentar el examen es de 0.5636.

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25 \% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

 

Sustitución de valores en la formula:

 

\displaystyle P( X \leq N) = 0.25 \qquad \Rightarrow \qquad P \left( Z \leq \frac{(N - 78)}{36} = 0.25 \right)

 

Localizamos la probabilidad 0.25 en la tabla de distribución de normal, es -0.67 , esto significa que

 \displaystyle   \frac{N-78}{36} =-0.67

 

Despejamos N:

 

     \begin{align*} N & = -0.67 \cdot 36 +78\\ &= 53.88\\ & \approx 54 \end{align*}

 

Calculamos para 54 + 5 = 59 :

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 59) &= P \left( Z > \frac{(59 - 78)}{36} \right)\\ &\\ &= P(Z > -0.53)\\ &\\ &= P( Z < 0.53) \\ &\\ &= 0.7019 \end{align*}}

 

El porcentaje de alumnos que son Aptos y ademas su puntaje esta 5 unidades por encima de la frontera de No-Aptos es de 70.19 \%.

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

 

Sustituimos:

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 84) &= P \left( Z > \frac{(84 - 78)}{36} \right)\\ &\\ &= P(Z > 0.16)\\ &\\ &= 1 - P( Z < 0.16) \\ &\\ &= 1 - 0.5636\\ &\\ &= 0.4364 \end{align*}}

 

Por el primer inciso de este ejercicio sabemos que la probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación mayor a los 72 puntos al hacer el examen es de 0.5636.

 

     \begin{align*} P( X > 84) &= 0.4364\\ &\\ P( X > 72) &= 0.5636\\ \end{align*}

 

Ahora utilizaremos la formula de probabilidad condicional:

 

 \displaystyle P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

 

Sustituimos:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 84 | X > 72) &= \frac{P \left( X > 84 \quad \text{y} \quad X > 72 \right)}{P \left(X > 72 \right)}\\ &\\ &= \frac{P \left( X > 84 \right)}{P \left(X > 72 \right)}\\ &\\ &= \frac{0.4364}{0.5636} \\ &\\ &= 0.774 \end{align*}}

 

La probabilidad de que un alumno que obtuvo una puntuación mayor a 72 haya obtenido de hecho una puntuación mayor a 84 es de 0.774.

 

Distribución normal para la clasificación de grupos

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18).

 

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20 \% la población, un 65 \% el segundo y un 15 \% en el tercero.

 

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18).

 

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20 \% la población, un 65 \% el segundo y un 15 \% en el tercero.

 

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

Gráfica de distribución normal campana de Bell

 

Localizamos en nuestra tabla el parámetro correspondiente a la probabilidad 0.2 \quad (20 \%), el cual es -0.84:

 

\displaystyle P(Z \leq Z_1) = 0.2 \qquad \Rightarrow \qquad Z_1 \approx -0.84

 

Por lo que, si Z_1 = \frac{X_1-65 }{18 }, entonces

 

     \begin{align*} \frac{X_1-65 }{18 } & =-0.84\\ &\\ X_1 &= (-0.84)(18) + 65\\ &\\ X_1 &= 49.88\\ &\\ X_1 &\approx 50 \end{align*}

 

Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.85, el cual es 1.04, lo que significa que

 

\displaystyle P(Z \leq Z_2) = 0.85 \qquad \Rightarrow \qquad Z_2 \approx 1.04

 

Por lo que, si Z_2 = \frac{X_2-65 }{18 }, entonces

 

     \begin{align*} \frac{X_2-65 }{18 } & = 1.04\\ &\\ X_2 &= (1.04)(18) + 65\\ &\\ X_2 &= 83.72\\ &\\ X_2 &\approx 84 \end{align*}

 

Baja cultura hasta 50 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 84.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

 

Calculo de coeficiente intelectual a través de distribución normal

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

 

2 ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50 \% de la población?

 

3 En una población de 2500 individuos, ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

 

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

 

Sustitución de valores en la formula:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(95 < X \leq 100) &= P \left( \frac{(95 - 100)}{15} \leq Z \leq \frac{(110 - 100)}{15} \right)\\ &\\ &= P(- 0.333 \leq Z \leq 0.666)\\ &\\ &= P( Z \leq 0.666) - P(Z \geq -0.333)\\ &\\ &= P( Z \leq 0.666) - (1 - P(Z \leq 0.333))\\ &\\ &= 0.7486 - (1 - 0.6293)\\ &\\ &= 0.3779 \end{align*}}

 

El porcentaje de la población que obtendrá un puntaje entre 95 y 110 es de 37.79 \%.

 

 

2 ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50 \% de la población?

 

Gráfica de distribución normal dibujo de campana Bell

 

Como queremos tomar el 50 \% del centro de la población, entonces tomamos el intervalo que esta entre el 25 \% y el 75 \%

 

Localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.75 y de 0.25

 

     \begin{align*} P(Z \leq Z_1) = 0.75 \qquad & \Rightarrow \qquad Z_1 = 0.67\\ &\\ P(Z \leq Z_2) = 0.25 \qquad & \Rightarrow \qquad Z_2 = -0.675\\ \end{align*}

 

Sustituimos y despejamos

 

     \begin{align*} \fracc{X_1-100}{15} &=0.67\\ &\\ X_1 &= (0.67 \cdot 15) + 100\\ &\\ X_1 &\approx 110 \end{align*}

 

y

 

     \begin{align*} \fracc{X_2-100}{15} &= -0.67\\ &\\ X_2 &= (-0.67 \cdot 15)+100\\ &\\ X_2 &\approx 90 \end{align*}

 

Entonces, el intervalo es: (90, 110).

 

El intervalo centrado que contiene al 50 \% de la población obtendrá un puntaje entre 90 y 110.

 

3 En una población de 2500 individuos, ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

 

Sustituimos valores en la formula, calculamos el parámetro y  localizamos la probabilidad en la tabla

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 125) &= P \left( Z > \frac{(125 - 100)}{15} \right)\\ &\\ &= P(Z > 0.1666)\\ &\\ &= 1 - P( Z < 0.1666) \\ &\\ &= 1 - 0.9525\\ &\\ &= 0.0475 \end{align*}}

 

Multiplicando esta probabilidad por los 2500 individuos obtenemos

 

\displaystyle 2500 \cdot P( X > 125) = (2500)(0.0475) \approx 119

 

En una población de 2500 individuos, se espera que 119 de ellos tengan un coeficiente superior a 125.

 

Uso de la distribución normal para calculo de probabilidad

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre  ellas haya por lo menos 30 con teléfono.

 

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

 

Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 con teléfono

 

     \begin{align*} n &= 90\\ &\\ p &= \frac{1}{3}\\ &\\ q &= \frac{2}{3} \end{align*}

 

    • n: Cantidad de familias a elegir.

 

    • p: Probabilidad de seleccionar una familia que tenga teléfono.

 

  • q: Complemento de la probabilidad.

 

 

Para resolver este tipo de ejercicios usaremos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:.

 

Si tenemos que X es una variable aleatoria binomial de parámetros n ypX \sim B(n,p), entonces X se puede aproximar a una distribución normal de media \mu = np y desviación típica \sigma = \sqrt{npq} (donde q=1-p) si se cumplen las dos condiciones siguientes:

 

    • Condición 1.  n \geq 30.

 

  • Condición 2.  np, nq \geq 5.

 

Entonces, la variable binomial X \sim B(n,p) quedaría aproximada por la variable normal X \sim N(np, \sqrt{npq}).

 

Como n=90, se cumple la condición 1.

 

     \begin{align*} n \cdot p &= 90 \cdot \frac{1}{3}=30\\ &\\ n \cdot q &= 90 \cdot \frac{2}{3}=60\\ \end{align*}

 

Entonces, se cumple la condición 2.

 

Entonces utilizamos la formula X \sim N(np, \sqrt{npq}).

 

Sustituimos los datos:

 

\displaystyle B \left( 90, \frac{1}{3} \right) \to N \left( 90 \cdot \frac{1}{3}, \sqrt{90 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}\right) = N(30, 4.47)

 

Ahora utilizamos la formula de distribución normal

 

 \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma }

 

Sustituimos , operamos y localizamos el valor de la probabilidad en nuestra tabla de distribución normal:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 30) &= P \left( Z > \frac{(30 - 30)}{4.47} \right)\\ &\\ &= P(Z > 0)\\ &\\ &= 1 - P( Z < 0) \\ &\\ &= 1 - 0.5\\ &\\ &= 0.5 \end{align*}}

Al seleccionar 90 familias al azar, existe una probabilidad de 0.5 de haber seleccionado por lo menos 30 familias con teléfono.

 

Probabilidad de un evento con variable aleatoria

 

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple,  cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas.

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

 

 

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

 

Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas.

 

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:

 

Comprobamos las 2 condiciones:

 

Primera condición:

 

\displaystyle n = 200, \qquad p = 0.5, \qquad q = 0.5

 

Segunda condición: 

\displaystyle np > 5, \qquad nq > 5

 

Como ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula

 

X \sim N \left( np, \sqrt{npq} \right).

Sustituimos:

\displaystyle B(200, 0.5) \quad \to \quad N \left( (200)(0.5), \sqrt{(200)(0.5)(0.5)}\right) = N \left( 100, 7.07\right)

Ahora utilizaremos  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma }

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 110) &= P \left( Z > \frac{(110 - 100)}{7.07} \right)\\ &\\ &= P(Z > 1.41)\\ &\\ &= 1 - P( Z < 1.41) \\ &\\ &= 1 - 0.92073\\ &\\ & \approx 0.07927 \end{align*}}

 

Al contestar al azar un examen tipo test de opción múltiple existe la probabilidad de 0.07927 de aprobar.

Distribución normal para la probabilidad

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 \% de los hogares tienen al menos dos televisores, se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60 \% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad, comprobamos si se cumplen las 2 condiciones:

 

     \begin{align*} n &= 50\\ &\\ p &= 0.6\\ &\\ q &= 0.4\\ &\\ np &> 5\\ &\\ nq &> 5\\ \end{align*}

 

Como ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula X \sim N(np, \sqrt{npq}).

 

Sustituimos:

 

\displaystyle B(50, 0.6) \quad \to \quad N \left( (50)(0.6), \sqrt{(50)(0.6)(0.4)}\right) = N \left( 30, 3.46\right)

 

Ahora utilizaremos  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma } .

 

Sustituimos:

 

     {\scriptsize \begin{align*} P( X > 20) &= P \left( Z > \frac{(20 - 30)}{3.46} \right)\\ &\\ &= P(Z > -2.89)\\ &\\ &= P( Z < 2.89) \\ &\\ & \approx 0.9981 \end{align*}}

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizando la formula  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media  \displaystyle( \mu = n p ) y la desviación típica  \displaystyle (\sigma = \sqrt{ npq}  )

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(35 < X \leq 40) &= P \left( \frac{(35 - 30)}{3.46} \leq Z \leq \frac{(40 - 30)}{3.46} \right)\\ &\\ &= 0.9981 - 0.9265\\ &\\ &= 0.0716 \end{align*}}

 

La probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan al menos 2 televisores es de 0.0716.

Encuentra el mejor curso matematicas de todos los que te proponemos en Superprof. Podrás aprender tanto con un profesor de matematicas online como con uno presencial. ¡Tu decides!

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,39/5 - 23 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗