Tabla de distribución normal

La tabla de distribución normal se utiliza para localizar valores definidos para la variable z.

 

Tabla de distribución normal 1

 

Tabla de distribución normal 2

 

Variable aleatoria en distribución normal

 

Si  X es una variable aleatoria de una distribución N(\mu, \sigma), hallar: P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma).

 

 

Si  X es una variable aleatoria de una distribución N(\mu, \sigma), hallar: P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma).

 

En este caso, se esta trabajando con una distribución normal estandar, para resolverlo utilizaremos la formula siguiente:

 

\displaystyle Z =\frac{X-\mu }{\sigma }

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &=  P \left(\frac{(\mu - 3\sigma) - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{(\mu + 3\sigma) - \mu}{\sigma} \right)\\ &\\ &= P(- 3 \leq Z \leq 3)\\ &\\ &= P( Z \leq 3) - P(Z \leq -3) \end{align*}}

 

Ahora, tenemos que localizar en nuestra tabla de distribución normal, localizamos el valor cuando P(z \geq 3) = 0.0013, pero necesitamos el valor para cuando P)(z \leq 3), entonces se utiliza P(z \leq  3) = 1 - P( z \geq 3) entonces obtenemos que P(z \leq 3) = 1 - 0.0013 =0.9987 . Además, como la distribución normal es simétrica, tenemos que P(z \leq -3) = P(z \geq 3) = 0.0013.

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) &= P( Z \leq 3) - P(Z \leq -3)\\ &\\ &= 0.9987  - 0.0013\\ &\\ &= 0.9974 \end{align*}}

 

Es decir, que aproximadamente el 99.74 \% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

 

Distribución normal, media y desviación típica:

 

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4-a \leq x \leq 4 + a) = 0.5934

 

 

En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4-a \leq x \leq 4 + a) = 0.5934

 

Utilizando la formula  \displaystyle Z=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media (  \displaystyle \mu ), y la desviación típica (  \displaystyle \sigma ).

 

     {\scriptsize \begin{align*} P(4-a \leq x \leq 4 + a) &=  P \left(\frac{(4-a) - 4}{2} \leq Z \leq \frac{(4+a) - 4}{2} \right)\\ &\\ &= 0.5934 \end{align*}}

 

Al simplificar, obtenemos:

 

     {\scriptsize \begin{align*}  P \left(\frac{-a}{2} \leq Z \leq \frac{a}{2} \right) &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - P \left(Z \leq \frac{-a}{2}\right)\\ &\\ &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - P \left(Z \geq \frac{a}{2}\right)\\ &\\ &= P \left(Z \leq \frac{a}{2} \right) - (1 - P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right))\\ &\\ &=  2 \cdot P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) - 1\\ &\\ &= 0.5934 \end{align*}}

 

De donde se sigue que

 

\displaystyle {\scriptsize 2 \cdot P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) - 1  = 0.5934 \qquad \Rightarrow \qquad P \left(Z \leq \frac{a}{2}\right) = 0.7967}

 

Ahora localizamos en la tabla de distribución normal el valor 0.7969 y observamos que corresponde a P(Z \leq 0.83), entonces:

 

\displaystyle {\scriptsize \frac{a}{2} = 0.83\qquad \Rightarrow \qquad a = 1.66}

 

Distribución normal aplicada a la temperatura ambiental

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°.

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

 

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°.

 

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

 

Utilizando la formula  \displaystyle \mathbb{Z}=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media ( 23 ), y la desviación típica ( 5 )

 

Uso de la distribución normal para el calculo de probabilidad de temperaturas

 

Simplificando:

 

Aplicación de la formula para probabilidad de distribución normal

 

Buscamos los valores correspondientes en la tabla de distribución normal y operamos:

 

Calculo de días del mes con la temperatura esperada

 

Esto quiere decir, que en todo el mes, solo 13 días alcanzaran temperaturas entre 21 y 27 grados

 

Distribución normal aplicada al peso de los estudiantes

 

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

 

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre 60 kg y 75 kg

2 Más de 90 kg

 

3 Menos de 64 kg

 

4 64 kg

 

5 64 kg o menos

 

 

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar  cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre 60 kg y 75 kg

 

Sustituyendo:

 

Formula para calculo de probabilidad

 

Simplificando:

 

desarrollo de la formula para el calculo de probabilidad

 

Localizando los valores en la tabla de distribución normal y operando:

 

Total de estudiantes que tienen el peso dentro del rango seleccionado
De los 500 estudiantes 476 se encuentran entre los 60 y 75 kilogramos de peso

 

2 Más de 90 kg

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

 

Calculo para una variable muy elevada

Buscamos el valor de z en la tabla de distribución normal (siempre que z sea mayor a 3.5 la probabilidad de ocurrencia es de 1) y operamos :

 

Cantidad de estudiantes que exceden el valor de peso en el estudio

Es imposible hallar a un solo estudiante por encima de los 90 kilogramos.

 

3 Menos de 64 kg

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

Calculo de estudiantes mas ligeros en el estudio de peso

Buscamos el valor de z en la tabla de distribución normal  y operamos :

 

Cantidad de alumnos por debajo de la media

 

Solo hay 11 estudiantes que pesan menos de 64 kilogramos

 

 

4 64 kg

 

Buscamos el valor de z en la tabla de distribución normal (siempre que z sea mayor a 3.5 la probabilidad de ocurrencia es de 1) y operamos :

Calculo de alumnos que pesan un valor exacto

No hay estudiantes que pesen exactamente 64 kilogramos

 

 

5 64 kg o menos

 

Dados los resultados anteriores:

 

Existen cero estudiantes que pesan 64 kilogramos exactos y hay 11 estudiantes que pesan menos de 64 kilogramos, entonces, existen 11 estudiantes que pesan 64 kilogramos o menos.

 

Calculo de probabilidad con intersección de eventos

 

Distribución normal para la aplicación de exámenes

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36.

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72
¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

 

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36.

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

 

Sustituimos los valores en la formula:

Calculo de probabilidad para un valor cercano a la distribución normal

 

Localizamos el valor de la probabilidad en la tabla de distribución de frecuencias

 

Resultado de la probabilidad

 

La probabilidad de que una persona obtenga una puntuación mayor a 72 al presentar el examen es de 0.5636

 

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

 

Sustitución de valores en la formula:

 

Calculo de probabilidad condicional en distribución normal

 

Localizamos la probabilidad 0.25 en la tabla de distribución de normal, es -0.67 , esto significa que

 \displaystyle   \frac{N-78}{36} =-0.67

 

Despejamos N:

 

 \displaystyle   N =(-0.67 \cdot 36 ) +78

 \displaystyle   N=53.88 \approx 54

 

Se puede realizar también buscando en la tabla el valor del complemento, es decir el de p(0.25) = 1-p(0.75)

 

Declarando parámetros y aplicando formula Resultado de alumnos no aptos

 

Entonces, el puntaje frontera que divide a los estudiantes Aptos de los No-Aptos es 54 puntos.

 

Calculamos para 54+5 :

 

Calculando alumnos Aptos de acuerdo al parámetro de puntos

 

Localizamos el valor de la probabilidad en nuestra tabla:

 

Porcentaje de alumnos que supera el parámetro establecido

 

El porcentaje de alumnos que son Aptos y ademas su puntaje esta 5 unidades por encima de la frontera de No-Aptos es de 70.19%.

 

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72
¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

 

Sustituimos:

Calculo de probabilidad condicional en la distribución normal de alumnos aptos

Localizamos el valor de la probabilidad en nuestra tabla:

 

Desarrollo de la formula para el calculo de probabilidad

 

Por el inciso 1 de este ejercicio sabemos que la probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación mayor a los 72 puntos al hacer el examen es de 0.5636

 

p(x>84) =0.4364

p(x>72) =0.5636

 

Ahora utilizaremos la formula de probabilidad condicional:

 

 \displaystyle P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

 

Sustituimos:
Aplicación de la formula para probabilidad condicional

 

Resultado obtenido del calculo de probabilidad condicional en una distribución normal

 

La probabilidad de que un alumno que obtuvo una puntuación mayor a 72 haya obtenido de hecho una puntuación mayor a 84 es de 0.774

 

Distribución normal para la clasificación de grupos

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18).

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero.

 

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18).

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero.

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

Gráfica de distribución normal

 

Localizamos en nuestra tabla el parámetro correspondiente a la probabilidad 0.2  (20%), el cual es 0.84

 

Parámetros de la distribución

 

Entonces   \displaystyle p(Z \leq -0.84) =0.2

 

Por lo que  \displaystyle \frac{z_1-65 }{18 }=-0.84

 

Despejamos:

 

 \displaystyle z_1= (-0.84 \cdot 18)+65 = 49.88 \approx 50

 

Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.85, el cual es 1.04, lo que significa que

 \displaystylep(Z \leq 1.04)=0.85

 

Por lo que

 \displaystyle \frac{z_2-65 }{18 }=1.04

 

Despejamos:

 \displaystyle z_2= (1.04 \cdot 18)+65 = 83.72  \approx 84

 

Baja cultura hasta 50 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 84.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

 

Calculo de coeficiente intelectual a través de distribución normal

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110

 

2 ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

 

3 En una población de 2500 individuos
¿Cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

 

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110

 

Sustitución de valores en la formula:

 

Calculo de probabilidad en la distribución normal con parámetros definidos

Localizar los valores en la tabla :

 

Sustitución de valores

 

Operar:

 

Resultado del calculo de probabilidad normal

 

El porcentaje de la población que obtendrá un puntaje entre 95 y 110 es de 37.79%

 

 

2 ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

 

Gráfica de distribución normal

 

Como queremos tomar el 50% del centro de la población, entonces tomamos el intervalo que esta entre el 25% y el 75%

 

Localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de 0.75 y de 0.25

 

p=0.75                                      z=0.67

p=0.25                                      z=-0.675

 

Sustituimos y despejamos

 

 \displaystyle \fracc{X_1-100}{15}=0.67

 \displaystyle X_1=(0.67 \cdot 15)+100 \approx 110

 

 \displaystyle \fracc{X_2-100}{15}=-0.67

 \displaystyle X_2=(-0.67 \cdot 15)+100  \approx 90

Entonces, el intervalo es:

Intervalo

 

El intervalo centrado que contiene al 50% de la población obtendrá un puntaje entre 90 y 110

 

 

3 En una población de 2500 individuos
¿Cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

 

Sustituimos valores en la formula, calculamos el parámetro y  localizamos la probabilidad en la tabla

Calculo de probabilidad para el coeficiente de individuos

Operamos:

 

Individuos con alto coeficiente según calculo de probabilidad

 

En una población de 2500 individuos, se espera que 119 de ellos tengan un coeficiente superior a 125

 

Uso de la distribución normal para calculo de probabilidad

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre  ellas haya por lo menos 30 con teléfono.

 

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

 

Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 con teléfono

 

Asignación valores a las variables para la formulación de la probabilidad

 

n: Cantidad de familias a elegir

p: Probabilidad de seleccionar una familia que tenga teléfono

q: Complemento de la probabilidad

 

 

Para resolver este tipo de ejercicios usaremos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:

Si tenemos que X es una variable aleatoria binomial de parámetros n y p, X ~ B(n,p), entonces X se puede aproximar a una distribución normal de media μ=n·p y desviación típica σ= (donde q=1-p) si se cumplen las dos condiciones siguientes:

(Condición 1) n ≥ 30

(Condición 2) n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5

Entonces, la variable binomial X ~ B(n,p) quedaría aproximada por la variable normal X ~ N(np,).

 

Como n=90 se cumple la condición 1.

 

 \displaystyle n \cdot p = 90 \cdot \frac{1}{3}=30

 

 \displaystyle n \cdot q = 90 \cdot \frac{2}{3}=60

 

Entonces, se cumple la condición 2.

 

Segunda condición de teorema de Moivre

 

Entonces utilizamos la formula X ~ N(np,).

 

Sustituimos los datos:

 

Formula para la probabilidad con distribución normal

 

Ahora utilizamos la formula de distribución normal

 

 \displaystyle \mathbb{Z}=\frac{X-\mu }{\sigma }

 

Sustituimos , operamos y localizamos el valor de la probabilidad en nuestra tabla de distribución normal:

 

Resultado de probabilidad con distribución normal

Al seleccionar 90 familias al azar, existe una probabilidad de 0.5 de haber seleccionado por lo menos 30 familias con teléfono.

 

Probabilidad de un evento con variable aleatoria

 

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple,  cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas.

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

 

 

En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas.

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:

 

Comprobamos las 2 condiciones:

 

Primera condición:

 

Asignación valores a las variables para la formulación de la probabilidad

 

Segunda condición: Definiendo parámetrosComo ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula X ~ N(np,).Sustituimos:Formulación de la probabilidad 

Ahora utilizaremos:

 

 \displaystyle \mathbb{Z}=\frac{X-\mu }{\sigma }

 

Sustituimos:

 

Aplicación de la formula para el calculo de la probabilidad

 

Localizamos el valor en nuestra tabla de distribución normal  y operamos:

 

Total de aprobados, estudio de probabilidad

Al contestar al azar un examen tipo test de opción múltiple existe la probabilidad de 0.07927 de aprobar.

 

Distribución normal para la probabilidad

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores, se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad, comprobamos si se cumplen las 2 condiciones:

 

Asignación valores a las variables para la formulación de la probabilidad

 

Definiendo parámetros

 

Como ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula X ~ N(np,).

 

Sustituimos:

 

Formulación de la probabilidad

 

Ahora utilizaremos:

 

 \displaystyle \mathbb{Z}=\frac{X-\mu }{\sigma }

 

Sustituimos:

 

Aplicación de la formula para el calculo de la probabilidad

 

Localizamos el valor en nuestra tabla de distribución normal  y operamos:

 

Personas con 2 televisores o mas, estudio de probabilidad

 

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizando la formula  \displaystyle \mathbb{Z}=\frac{X-\mu }{\sigma } , vamos a sustituir el valor de la media  \displaystyle( \mu = n \cdot p ) y la desviación típica  \displaystyle (\sigma \sqrt{ n \cdot p \cdot q}  )

 

Sustitución de valores en formula de probabilidad con distribución normal

 

Probabilidad obtenida

 

La probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan al menos 2 televisores es de 0.0716

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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