Coeficiente de correlación lineal

 

El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.

El coeficiente de correlación lineal se representa mediante la letra r.

 

Propiedades

 

1 El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.

 

Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.

 

2 El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.

 

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlación.

 

3 El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre -1 y 1.

 

-1\leq r\leq 1

 

4 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a -1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1.

 

5 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1.

 

6 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil.

 

7 Si r=1 ó r=-1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.

 

Ejemplos

 

Ejemplo 1

 

Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:

 

\begin{matrix} \hline \textup{Matematicas} & \textup{Fisica} \\ \hline \hline 2 & 1\\ 3 & 3\\ 4 & 2\\ 4 & 4\\ 5 & 4\\ 6 & 4\\ 6 & 6\\ 7 & 4\\ 7 & 6\\ 8 & 7\\ 10 & 9\\ 10 & 10 \\ \hline \end{matrix}

 

Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo.

 

1 Añadimos a la tabla 3 columnas con x_{i}\cdot y_{i}, x_{i}^{2} y x_{i}^{2}, respectivamente. El último renglón de la tabla se obtiene sumando los valores de cada columna:

\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & x_{i}\cdot y_{i} & x_{i}^{2} & y_{i}^{2}\\ \hline \hline 2 & 1 & 2 & 4 & 1\\ 3 & 3 & 9 & 9 & 9\\ 4 & 2 & 8 & 16 & 4\\ 4 & 4 & 16 & 16 & 16\\ 5 & 4 & 20 & 25 & 16\\ 6 & 4 & 24 & 36 & 16\\ 6 & 6 & 36 & 36 & 36\\ 7 & 4 & 28 & 49 & 16\\ 7 & 6 & 42 & 49 & 36\\ 8 & 7 & 56 & 64 & 49\\ 10 & 9 & 90 & 100 & 81\\ 10 & 10 & 100 & 100 & 100\\ \hline 72 & 60 & 431 & 504 & 380 \\ \hline \end{matrix}

 

2 Hallamos las medias aritméticas.

 

\bar{x}=\cfrac{72}{12}=6                    \bar{y}=\cfrac{60}{12}=5

3 Calculamos la covarianza.

 

\sigma _{xy}=\cfrac{431}{12}-6,5=5,92

 

4 Calculamos las desviaciones típicas.

 

\sigma _{xy}=\cfrac{13.617}{6}-36,5\cdot 57,83=158,71

 

5 Aplicamos la fórmula del coeficiente de correlación lineal.

 

r=\cfrac{5,92}{2,45\cdot 2,58}=0,94

 

Al ser el coeficiente de correlación positivo, la correlación es directa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 1 la correlación es muy fuerte.

 

Ejemplo 2

 

Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

 

\begin{tabular}{| c | c c c|} \hline Y/X & 0 & 2 & 4\\ \hline 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 0 \\ \hline \end{tabular}

 

Determinar el coeficiente de correlación.

 

1 Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.

 

\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & f_{i} &\; x_{i}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}\cdot y_{i}\cdot f_{i}\; \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 6 & 18 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 4 & 8 & 16 & 8 & 16 & 16\\ 2 & 3 & 5 & 10 & 20 & 15 & 45 & 30\\ 4 & 1 & 3 & 12 & 48 & 3 & 3 & 12\\ 4 & 2 & 2 & 8 & 32 & 4 & 8 & 16\\ \hline & \sum & 20 & 40 & 120 & 41 & 97 & 76\\ \hline \end{matrix}

 

\bar{x}= \cfrac{40}{20}=2                    \bar{y}= \cfrac{41}{20}=2,05
y=1,77\cdot 47-6,78=76,41
\sigma _{x}=\sqrt{2}=1,41                \sigma _{y}=\sqrt{0,65}=0,81
\sigma _{xy}=\cfrac{76}{20}-2\cdot 2,05=-0,3
r=\cfrac{-0,3}{1,41\cdot 0,81}=-0,26

 

Al ser el coeficiente de correlación negativo, la correlación es inversa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 0 la correlación es muy débil.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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