Name: Coeficiente de correlacion
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Coeficiente de correlación lineal
Ejemplos

Coeficiente de correlación lineal

El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.

El coeficiente de correlación lineal se representa mediante la letra $r$ .

Propiedades

1 El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.

Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.

2 El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlación.

3 El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre $-1$ y $1$ .

$-1\leq r\leq 1$

4 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $-1$ la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a $-1$ .

5 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $1$ la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a $1$ .

6 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $0$ , la correlación es débil.

7 Si $r=1$ ó $r=-1$ , los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Las notas de $12$ alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:

$\begin{matrix} \hline \textup{Matematicas} & \textup{Fisica} \\ \hline \hline 2 & 1\\ 3 & 3\\ 4 & 2\\ 4 & 4\\ 5 & 4\\ 6 & 4\\ 6 & 6\\ 7 & 4\\ 7 & 6\\ 8 & 7\\ 10 & 9\\ 10 & 10 \\ \hline \end{matrix}$

Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo.

1 Añadimos a la tabla $3$ columnas con $x_{i}\cdot y_{i}$ , $x_{i}^{2}$ y $x_{i}^{2}$ , respectivamente. El último renglón de la tabla se obtiene sumando los valores de cada columna:

$\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & x_{i}\cdot y_{i} & x_{i}^{2} & y_{i}^{2}\\ \hline \hline 2 & 1 & 2 & 4 & 1\\ 3 & 3 & 9 & 9 & 9\\ 4 & 2 & 8 & 16 & 4\\ 4 & 4 & 16 & 16 & 16\\ 5 & 4 & 20 & 25 & 16\\ 6 & 4 & 24 & 36 & 16\\ 6 & 6 & 36 & 36 & 36\\ 7 & 4 & 28 & 49 & 16\\ 7 & 6 & 42 & 49 & 36\\ 8 & 7 & 56 & 64 & 49\\ 10 & 9 & 90 & 100 & 81\\ 10 & 10 & 100 & 100 & 100\\ \hline 72 & 60 & 431 & 504 & 380 \\ \hline \end{matrix}$

2 Hallamos las medias aritméticas.

$\bar{x}=\cfrac{72}{12}=6$ $\bar{y}=\cfrac{60}{12}=5$

3 Calculamos la covarianza.

$\sigma _{xy}=\cfrac{431}{12}-6 \cdot 5=5,92$

4 Calculamos las desviaciones típicas.

$\sigma _{x}= \sqrt{\frac{504}{12}-6^2} = 2.45, \qquad \sigma _{y}= \sqrt{\frac{380}{12}-5^2} = 2.58$

5 Aplicamos la fórmula del coeficiente de correlación lineal.

$r=\cfrac{5,92}{2,45\cdot 2,58}=0,94$

Al ser el coeficiente de correlación positivo, la correlación es directa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 1 la correlación es muy fuerte.

Ejemplo 2

Los valores de dos variables $X$ e $Y$ se distribuyen según la tabla siguiente:

$\begin{tabular}{| c | c c c|} \hline Y/X & 0 & 2 & 4\\ \hline 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 0 \\ \hline \end{tabular}$

Determinar el coeficiente de correlación.

1 Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.

$\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & f_{i} &\; x_{i}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}\cdot y_{i}\cdot f_{i}\; \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 6 & 18 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 4 & 8 & 16 & 8 & 16 & 16\\ 2 & 3 & 5 & 10 & 20 & 15 & 45 & 30\\ 4 & 1 & 3 & 12 & 48 & 3 & 3 & 12\\ 4 & 2 & 2 & 8 & 32 & 4 & 8 & 16\\ \hline & \sum & 20 & 40 & 120 & 41 & 97 & 76\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}= \cfrac{40}{20}=2$ $\bar{y}= \cfrac{41}{20}=2,05$
$y=1,77\cdot 47-6,78=76,41$
$\sigma _{x}=\sqrt{2}=1,41$ $\sigma _{y}=\sqrt{0,65}=0,81$
$\sigma _{xy}=\cfrac{76}{20}-2\cdot 2,05=-0,3$
$r=\cfrac{-0,3}{1,41\cdot 0,81}=-0,26$

Al ser el coeficiente de correlación negativo, la correlación es inversa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 0 la correlación es muy débil.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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jose

Mayo 2022

Buenas tardes, si lo que me proporcionan es la media y la varianza de X,Y y la covarianza, ¿Cómo puedo realizarlo? Gracias!

Antonio Tapia

Agosto 2022

A la varianza de X y Y sácale raíz cuadrada y se convierten en desviaciones, finalmente sustituyes en la fórmula de coeficiente de correlación.

jose

Mayo 2022

Buenas tardes, si no tengo la tabla con datos, y solo me han proporcionado el tamaño de la muestra, la media y varianza de las variables X e Y, y la covarianza ¿Cómo puedo calcular el coeficiente de correlación y el coeficiente de determinación?

Antonio Tapia

Agosto 2022

Para el coeficiente de correlación solo: A la varianza de X y Y sácale raíz cuadrada y se convierten en desviaciones, finalmente sustituyes en la fórmula de coeficiente de correlación.
Para el coeficiente de determinación solo eleva el coeficiente de correlación al cuadrado.

Luis Guevara Luna.

Noviembre 2021

muy buena su explcacion. Gracias por favor.

Andrea

Abril 2021

hola, como calculamos esto:
la tabla muestra las edades y la presión de mujeres.
x(edad) y(presión) 1) el coeficiente de correlación entre x e y
20 30 mm 119 2) hallar la ecuación respectiva que rige la correlación
30 50 mm 119 3) estimar la presión sanguínea para unas mujer de 45 años
40 60 mm 119 Agradeceria su ayuda en resolución de este ejercicio
50 80 mm 119
60 120 mm 119

Superprof

Octubre 2020

Hola Joseph, tienes la respuesta en el primer párrafo del artículo. 🙂

Joshep

Octubre 2020

Hola una pregunta cuál es la fórmula de coeficiente de correlación?

Coeficiente de correlación

Coeficiente de correlación lineal

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