Name: Coeficiente de correlacion
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Coeficiente de correlación lineal
Ejemplos

Coeficiente de correlación lineal

El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.

El coeficiente de correlación lineal se representa mediante la letra $r$ .

Propiedades

1 El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.

Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.

2 El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlación.

3 El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre $-1$ y $1$ .

$-1\leq r\leq 1$

4 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $-1$ la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a $-1$ .

5 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $1$ la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a $1$ .

6 Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a $0$ , la correlación es débil.

7 Si $r=1$ ó $r=-1$ , los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Las notas de $12$ alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:

$\begin{matrix} \hline \textup{Matematicas} & \textup{Fisica} \\ \hline \hline 2 & 1\\ 3 & 3\\ 4 & 2\\ 4 & 4\\ 5 & 4\\ 6 & 4\\ 6 & 6\\ 7 & 4\\ 7 & 6\\ 8 & 7\\ 10 & 9\\ 10 & 10 \\ \hline \end{matrix}$

Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo.

1 Añadimos a la tabla $3$ columnas con $x_{i}\cdot y_{i}$ , $x_{i}^{2}$ y $x_{i}^{2}$ , respectivamente. El último renglón de la tabla se obtiene sumando los valores de cada columna:

$\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & x_{i}\cdot y_{i} & x_{i}^{2} & y_{i}^{2}\\ \hline \hline 2 & 1 & 2 & 4 & 1\\ 3 & 3 & 9 & 9 & 9\\ 4 & 2 & 8 & 16 & 4\\ 4 & 4 & 16 & 16 & 16\\ 5 & 4 & 20 & 25 & 16\\ 6 & 4 & 24 & 36 & 16\\ 6 & 6 & 36 & 36 & 36\\ 7 & 4 & 28 & 49 & 16\\ 7 & 6 & 42 & 49 & 36\\ 8 & 7 & 56 & 64 & 49\\ 10 & 9 & 90 & 100 & 81\\ 10 & 10 & 100 & 100 & 100\\ \hline 72 & 60 & 431 & 504 & 380 \\ \hline \end{matrix}$

2 Hallamos las medias aritméticas.

$\bar{x}=\cfrac{72}{12}=6$ $\bar{y}=\cfrac{60}{12}=5$

3 Calculamos la covarianza.

$\sigma _{xy}=\cfrac{431}{12}-6,5=5,92$

4 Calculamos las desviaciones típicas.

$\sigma _{xy}=\cfrac{13.617}{6}-36,5\cdot 57,83=158,71$

5 Aplicamos la fórmula del coeficiente de correlación lineal.

$r=\cfrac{5,92}{2,45\cdot 2,58}=0,94$

Al ser el coeficiente de correlación positivo, la correlación es directa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 1 la correlación es muy fuerte.

Ejemplo 2

Los valores de dos variables $X$ e $Y$ se distribuyen según la tabla siguiente:

$\begin{tabular}{| c | c c c|} \hline Y/X & 0 & 2 & 4\\ \hline 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 0 \\ \hline \end{tabular}$

Determinar el coeficiente de correlación.

1 Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.

$\begin{matrix} \hline x_{i} & y_{i} & f_{i} &\; x_{i}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}\cdot f_{i}\; & \; y_{i}^{2}\cdot f_{i}\; & \; x_{i}\cdot y_{i}\cdot f_{i}\; \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 6 & 18 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 & 4 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 4 & 8 & 16 & 8 & 16 & 16\\ 2 & 3 & 5 & 10 & 20 & 15 & 45 & 30\\ 4 & 1 & 3 & 12 & 48 & 3 & 3 & 12\\ 4 & 2 & 2 & 8 & 32 & 4 & 8 & 16\\ \hline & \sum & 20 & 40 & 120 & 41 & 97 & 76\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}= \cfrac{40}{20}=2$ $\bar{y}= \cfrac{41}{20}=2,05$
$y=1,77\cdot 47-6,78=76,41$
$\sigma _{x}=\sqrt{2}=1,41$ $\sigma _{y}=\sqrt{0,65}=0,81$
$\sigma _{xy}=\cfrac{76}{20}-2\cdot 2,05=-0,3$
$r=\cfrac{-0,3}{1,41\cdot 0,81}=-0,26$

Al ser el coeficiente de correlación negativo, la correlación es inversa.

Como coeficiente de correlación está muy próximo a 0 la correlación es muy débil.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Murga
Guest

1 Nov.

¿De donde salieron todos valores de las fórmulas? me perdí

Superprof
Admin

30 Dic.

Hola Luis, los valores de las fórmulas salen de la tabla preparada antes de la resolución del ejemplo. ¿En cual de las fórmulas te has perdido exactamente?

Coeficiente de correlación

Coeficiente de correlación lineal

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