La covarianza se representa por {s_{xy}} ó {\sigma_{xy}} y viene dada por las expresiones

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{N}}

 

{\sigma_{xy}}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}x_{i}y_{i}}{N}-\overline{x}\;\overline{y}}

 

Hallar la ecuación de la recta de regresión

 

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

 

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

 

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

 

 

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

 

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

 

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

 

{x_{i}}{y_{i}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}{x_{i}\cdot y_{i}}
</span>2</span>14</span>4</span>196</span>28
</span>3</span>20</span>9</span>400</span>60
</span>5</span>32</span>25</span>1 024</span>160
</span>7</span>42</span>49</span>1 764</span>294
</span>8</span>44</span>64</span>1 936</span>352
</span>25</span>152</span>151</span>5 320</span>894

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{25}{5}=5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{152}{5}=30.4,}

 

Calculamos la covarianza y la varianza de {y}

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{894}{5}-(5)(30.4)=26.8}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{5320}{5}-(30.4)^{2}=139.84}

 

La recta de regresión de la edad sobre el peso es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-5=0.192(y-30.4)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=0.192y-0.76}

 

Para encontrar el peso aproximado de un niño de seis años, sustituimos {x=6} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=35.55 \; kg}

 

Superprof

Calcular el coeficiente de correlación lineal

 

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

 

Nº de Clientes {(X)}Distancia {(Y)}
815
719
625
423
234
140

 

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

 

2Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

 

3Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

 

 

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

 

Nº de Clientes {(X)}Distancia {(Y)}
815
719
625
423
234
140

 

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

 

2Si el centro comercial se sitúa a  2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

 

3Si desea recibir a  5  clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

 

{x_{i}}{y_{i}}{x_{i}\cdot y_{i}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}
 8 15 120 64 225
 7 19 133 49 361
 6 25 150 36 625
 4 23 92 16 529
 2 34 68 4 1 156
 1 40 40 1 1 600
 28 156 603 170 4 496

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{28}{6}=4.67, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{156}{6}=26,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{603}{6}-(4.67)(26)=-20.92}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{170}{6}-(6.67)^{2}=6.53 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{6.53}=2.55}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{4496}{6}-(26)^{2}=73.33 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{73.33}=8.56}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-20.92}{(2.55)(8.56)}=-0.96}

 

Se tiene una correlación negativa muy fuerte.

 

La recta de regresión de los clientes sobre la distancia, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-4.67=-0.29(y-26)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=-0.29y+12.09}

 

Para encontrar el número de clientes cuando el centro comercial se sitúa a 2 kilómetros, sustituimos {y=2} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{x=11.51 \approx 12  \; \mbox{ clientes}}

 

Si se desea recibir cinco clientes, sustituimos {x=5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=24.96 \; km}

 

Determinar las rectas de regresión

 

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

 

MatemáticasQuímica
66.5
44.5
87
55
3.54

 

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

 

 

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

 

MatemáticasQuímica
66. 5
44. 5
87
55
3. 54

 

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

 

{x_{i}}{y_{i}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}{x_{i}\cdot y_{i}}
66.53642.2539
44.51620.2518
87644956
55252525
3.5412. 251614
26.527153.25152.5152

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{26.5}{5}=5.3, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{27}{5}=5.4,}

 

Calculamos la covarianza y la varianza de {y}

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{152}{5}-(5.3)(5.4)=1.78}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{152.5}{5}-(5.4)^{2}=1.34}

 

La recta de regresión de la calificación de matemáticas sobre la calificación de química, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-5.3=1.33(y-5.4)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=1.33y-1.88}

 

De esta misma despejamos {y} y obtenemos la recta de regresión en términos de la calificación en matemáticas

 

{y=0.75x+1.41}

 

Para encontrar la nota esperada en química para un alumno que tiene siete punto cinco en matemáticas, sustituimos {x=7.5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=7.03}

 

Seleccionar razonadamente la recta de regresión

 

Un conjunto de datos bidimensionales {(X,Y)} tiene coeficiente de correlación {r=-0.9}, siendo las medias de las distribuciones marginales {\overline{x}=1, \; \overline{y}=2}. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de {Y} sobre {X}:

 

1{Y=-X+2}

 

2{3X-Y=1}

 

3{2X+Y=4}

 

4{Y=X+1}

 

Seleccionar razonadamente esta recta.

 

 

Un conjunto de datos bidimensionales {(X,Y)} tiene coeficiente de correlación {r=-0.9}, siendo las medias de las distribuciones marginales {\overline{x}=1, \; \overline{y}=2}. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de {Y} sobre {X}:

 

1{Y=-X+2}

 

2{3X-Y=1}

 

3{2X+Y=4}

 

4{Y=X+1}

 

Seleccionar razonadamente esta recta.

 

Como el coeficiente de correlación lineal es negativo, la pendiente de la recta también será negativa, por tanto descartamos <span class="sa"> y <span class="sa">4

 

Un punto de la recta ha de ser {(\overline{x}, \overline{y})}, es decir, {(1, 2)}. Sustituimos en 1 y 3 para ver cual satisface la igualdad

 

{\begin{array}{rcl} 2&=&-1+2, \\  && \\ 2 &\neq & 1, \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} 2(1)+2 &= &4, \\ &&  \\ 4 & = & 4, \end{array} }

 

La recta pedida es 3.

 

Calcular la recta de regresión

 

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

 

Estatura {(x)}Pesos {(y)}
186<span class="ver">85<span class="ver">
189<span class="ver">85<span class="ver">
190<span class="ver">86<span class="ver">
192<span class="ver">90<span class="ver">
193<span class="ver">87<span class="ver">
193<span class="ver">91<span class="ver">
198<span class="ver">93<span class="ver">
201<span class="ver">103<span class="ver">
203<span class="ver">100<span class="ver">
205<span class="ver">101<span class="ver">

 

Calcular:

 

1La recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

2El coeficiente de correlación.

 

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

 

 

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

 

Estatura {(x)}Pesos {(y)}
</span>186<span class="ver"></span>85<span class="ver">
</span>189<span class="ver"></span>85<span class="ver">
</span>190<span class="ver"></span>86<span class="ver">
</span>192<span class="ver"></span>90<span class="ver">
</span>193<span class="ver"></span>87<span class="ver">
</span>193<span class="ver"></span>91<span class="ver">
</span>198<span class="ver"></span>93<span class="ver">
</span>201<span class="ver">1</span>03<span class="ver">
</span>203<span class="ver"></span>100<span class="ver">
</span>205<span class="ver"></span>101<span class="ver">

 

Calcular:

 

1La recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

2El coeficiente de correlación.

 

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

 

{x_{i}}{y_{1}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}{x_{i}\cdot y_{i}}
1868534 5967 22515 810
1898535 7217 22516 065
1908636 1007 39616 340
1929036 8648 10017 280
1938737 2497 56916 791
1939137 2498 28117563
1989339 2048 64918 414
20110340 40110 60920 703
20310041 20910 00020 300
20510142 02510 20120 705
1 950921380 61885 255179 971

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{1950}{10}=195, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{921}{10}=92.1,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{179971}{10}-(195)(92.21)=37.61}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{380618}{10}-(195)^{2}=36.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{36.8}=6.07}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{85255}{10}-(92.1)^{2}=43.09 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{43.09}=6.56}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{37.51}{(6.07)(6.56)}=0.94}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de los pesos sobre las estaturas, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-92.1=1.02(x-195)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=1.02x-106.8}

 

Para encontrar el eso de un jugador que mide 208 cm, sustituimos {x=208} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=105.36 \; kg.}

 

Determinar la recta de regresión y el coeficiente de correlación lineal

 

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller {(x)} y las unidades producidas {(y)}, determinar la recta de regresión de {(y)} sobre {(x)}, el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

 

Horas {(x)}Producción {(y)}
</span>80300
</span>79302
83315
84330
78300
60250
82300
85340
79315
84330
80310
62240

 

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller {(x)} y las unidades producidas {(y)}, determinar la recta de regresión de {(y)} sobre {(x)}, el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

 

Horas {(x)}Producción {(y)}
80300
79302
83315
84330
78300
60250
82300
85340
79315
84330
80310
62240

 

{x_{i}}{y_{i}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}{x_{i}\cdot y_{i}}
803006 40090 00024 000
793026 24191 20423 858
833156 88999 22526 145
843307 056108 90027 720
783006 08490 00023 400
602503 60062 50015 000
823006 72490 00024 600
853407 225115 60028 900
793156 24199 22524 885
843307 056108 90027 720
803106 40096 10024 800
622403 84457 60014 880
9363 63273 7601 109 254285 908

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{936}{12}=78, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{3632}{12}=302.67,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{285908}{12}-(78)(302.76)=217.41}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{73760}{12}-(78)^{2}=62.67 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{62.67}=7.92}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{1109254}{12}-(302.67)^{2}=828.7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{828.7}=28.8}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{217.41}{(7.92)(28.8)}=0.95}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de de {(y)} sobre {(x)}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-302.67=3.47(x-78)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=3.47x+32.01}

 

Calcular el coeficiente de correlación y determinar la ecuación de la recta

 

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

 

Nº de horas dormidas {(x)}678910
Nº de horas de televisión {(y)}43321
Frecuencias absolutas {(f_{i})}31620101

 

Se pide:

 

1Calcular el coeficiente de correlación.

 

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

 

 

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

 

Nº de horas dormidas {(x)}  7 8 9 10
Nº de horas de televisión {(y)} 4 3 3 2 1
Frecuencias absolutas {(f_{i})} 3 16 20 10 1

 

Se pide:

 

1Calcular el coeficiente de correlación.

 

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

 

{x_{i}}{y_{i}}{f_{i}}{f_{i}\cdot x_{i}}{f_{i}\cdot x_{i}^2}{f_{i}\cdot y_{i}}{f_{i}\cdot y_{i}^{2}}{f_{i}\cdot x_{i}\cdot y_{i}}
64318108124872
731611278448144336
8320160128060180480
9210908102040180
1011101001110
5039030821414131078

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{390}{50}=7.8, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{141}{50}=2.82,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{1078}{50}-(7.8)(2.82)=-0.436}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{3082}{50}-(7.8)^{2}=0.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{0.8}=0.89}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{413}{50}-(2.82)^{2}=0.3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{0.3}=0.55}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-0.436}{(0.89)(0.55)}=-0.88}

 

Se tiene una correlación negativa y fuerte.

 

La recta de regresión de {y} sobre {x}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-2.82=-0.545(x-7.8)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=-0.545x+7.071}

 

Para encontrar el número de horas que ve la televisión una persona que duerme ocho horas y media, sustituimos {x=8.5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=2.44 \; h.}

 

Hallar el coeficiente de correlación y calcular la recta de regresión

 

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud {(x)} dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba {(y)} en cientos de euros.

 

{x}254233542936
{y}427250904548

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

 

2Calcular la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

 

 

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud {(x)} dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba {(y)} en cientos de euros.

 

{x} 25 42 33 54 29 36
{y} 42 72 50 90 45 48

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

 

2Calcular la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

 

{x_{i}}{y_{i}}{x_{i}^{2}}{y_{i}^{2}}{x_{i}\cdot y_{i}}
25426251 7641 050
42721 7645 1843 024
33501 0892 5001 650
54902 9168 1004 860
29458412 0251 305
36481 2962 3041 728
2093478 53121 87713 617

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{219}{6}=36.5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{347}{6}=57.83,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{13617}{6}-(36.5)(57.83)=158.71}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{8531}{6}-(36.5)^{2}=89.58 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{89.58}=9.46}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{21877}{6}-(57.83)^{2}=301.86 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{301.86}=17.37}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{158.71}{(9.46)(17.37)}=0.97}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de {y} sobre {x}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-57.83=1.77(x-36.5)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=1.77x-6.78}

 

Para predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test, sustituimos {x=47} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=76.41}

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Marta

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