Temas

Hallar la ecuación de la recta de regresión
Calcular el coeficiente de correlación lineal
Determinar las rectas de regresión
Seleccionar razonadamente la recta de regresión
Calcular la recta de regresión
Determinar la recta de regresión y el coeficiente de correlación lineal
Calcular el coeficiente de correlación y determinar la ecuación de la recta
Hallar el coeficiente de correlación y calcular la recta de regresión

La covarianza se representa por ${s_{xy}}$ ó ${\sigma_{xy}}$ y viene dada por las expresiones

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{N}}$

${\sigma_{xy}}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}x_{i}y_{i}}{N}-\overline{x}\;\overline{y}}$

Hallar la ecuación de la recta de regresión

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$
2	14	4	196	28
3	20	9	400	60
5	32	25	1 024	160
7	42	49	1 764	294
8	44	64	1 936	352
25	152	151	5 320	894

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{25}{5}=5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{152}{5}=30.4,}$

Calculamos la covarianza y la varianza de ${y}$

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{894}{5}-(5)(30.4)=26.8}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{5320}{5}-(30.4)^{2}=139.84}$

La recta de regresión de la edad sobre el peso es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${x-5=0.192(y-30.4)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${x=0.192y-0.76}$

Para encontrar el peso aproximado de un niño de seis años, sustituimos ${x=6}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${y=35.55 \; kg}$

Calcular el coeficiente de correlación lineal

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

Nº de Clientes ${(X)}$	Distancia ${(Y)}$
8	15
7	19
6	25
4	23
2	34
1	40

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

2Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

3Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

Nº de Clientes ${(X)}$	Distancia ${(Y)}$
8	15
7	19
6	25
4	23
2	34
1	40

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

2Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

3Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$
8	15	120	64	225
7	19	133	49	361
6	25	150	36	625
4	23	92	16	529
2	34	68	4	1 156
1	40	40	1	1 600
28	156	603	170	4 496

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{28}{6}=4.67, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{156}{6}=26,}$

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{603}{6}-(4.67)(26)=-20.92}$

${\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{170}{6}-(6.67)^{2}=6.53 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{6.53}=2.55}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{4496}{6}-(26)^{2}=73.33 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{73.33}=8.56}$

El coeficiente de correlación está dado por ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-20.92}{(2.55)(8.56)}=-0.96}$

Se tiene una correlación negativa muy fuerte.

La recta de regresión de los clientes sobre la distancia, es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${x-4.67=-0.29(y-26)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${x=-0.29y+12.09}$

Para encontrar el número de clientes cuando el centro comercial se sitúa a 2 kilómetros, sustituimos ${y=2}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${x=11.51 \approx 12 \; \mbox{ clientes}}$

Si se desea recibir cinco clientes, sustituimos ${x=5}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${y=24.96 \; km}$

Determinar las rectas de regresión

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

Matemáticas	Química
6	6.5
4	4.5
8	7
5	5
3.5	4

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

Matemáticas	Química
6	6. 5
4	4. 5
8	7
5	5
3. 5	4

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$
6	6.5	36	42.25	39
4	4.5	16	20.25	18
8	7	64	49	56
5	5	25	25	25
3.5	4	12. 25	16	14
26.5	27	153.25	152.5	152

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{26.5}{5}=5.3, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{27}{5}=5.4,}$

Calculamos la covarianza y la varianza de ${y}$

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{152}{5}-(5.3)(5.4)=1.78}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{152.5}{5}-(5.4)^{2}=1.34}$

La recta de regresión de la calificación de matemáticas sobre la calificación de química, es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${x-5.3=1.33(y-5.4)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${x=1.33y-1.88}$

De esta misma despejamos ${y}$ y obtenemos la recta de regresión en términos de la calificación en matemáticas

${y=0.75x+1.41}$

Para encontrar la nota esperada en química para un alumno que tiene siete punto cinco en matemáticas, sustituimos ${x=7.5}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${y=7.03}$

Seleccionar razonadamente la recta de regresión

Un conjunto de datos bidimensionales ${(X,Y)}$ tiene coeficiente de correlación ${r=-0.9}$ , siendo las medias de las distribuciones marginales ${\overline{x}=1, \; \overline{y}=2}$ . Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de ${Y}$ sobre ${X}$ :

1 ${Y=-X+2}$

2 ${3X-Y=1}$

3 ${2X+Y=4}$

4 ${Y=X+1}$

Seleccionar razonadamente esta recta.

1 ${Y=-X+2}$

2 ${3X-Y=1}$

3 ${2X+Y=4}$

4 ${Y=X+1}$

Seleccionar razonadamente esta recta.

Como el coeficiente de correlación lineal es negativo, la pendiente de la recta también será negativa, por tanto descartamos 2 y 4

Un punto de la recta ha de ser ${(\overline{x}, \overline{y})}$ , es decir, ${(1, 2)}$ . Sustituimos en 1 y 3 para ver cual satisface la igualdad

${\begin{array}{rcl} 2&=&-1+2, \\ && \\ 2 &\neq & 1, \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} 2(1)+2 &= &4, \\ && \\ 4 & = & 4, \end{array} }$

La recta pedida es 3.

Calcular la recta de regresión

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura ${(x)}$	Pesos ${(y)}$
186	85
189	85
190	86
192	90
193	87
193	91
198	93
201	103
203	100
205	101

Calcular:

1La recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

2El coeficiente de correlación.

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura ${(x)}$	Pesos ${(y)}$
186	85
189	85
190	86
192	90
193	87
193	91
198	93
201	103
203	100
205	101

Calcular:

1La recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

2El coeficiente de correlación.

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

${x_{i}}$	${y_{1}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$
186	85	34 596	7 225	15 810
189	85	35 721	7 225	16 065
190	86	36 100	7 396	16 340
192	90	36 864	8 100	17 280
193	87	37 249	7 569	16 791
193	91	37 249	8 281	17563
198	93	39 204	8 649	18 414
201	103	40 401	10 609	20 703
203	100	41 209	10 000	20 300
205	101	42 025	10 201	20 705
1 950	921	380 618	85 255	179 971

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{1950}{10}=195, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{921}{10}=92.1,}$

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{179971}{10}-(195)(92.21)=37.61}$

${\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{380618}{10}-(195)^{2}=36.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{36.8}=6.07}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{85255}{10}-(92.1)^{2}=43.09 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{43.09}=6.56}$

El coeficiente de correlación está dado por ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{37.51}{(6.07)(6.56)}=0.94}$

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

La recta de regresión de los pesos sobre las estaturas, es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}$

${y-92.1=1.02(x-195)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${y=1.02x-106.8}$

Para encontrar el eso de un jugador que mide 208 cm, sustituimos ${x=208}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${y=105.36 \; kg.}$

Determinar la recta de regresión y el coeficiente de correlación lineal

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller ${(x)}$ y las unidades producidas ${(y)}$ , determinar la recta de regresión de ${(y)}$ sobre ${(x)}$ , el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

Horas ${(x)}$	Producción ${(y)}$
80	300
79	302
83	315
84	330
78	300
60	250
82	300
85	340
79	315
84	330
80	310
62	240

Horas ${(x)}$	Producción ${(y)}$
80	300
79	302
83	315
84	330
78	300
60	250
82	300
85	340
79	315
84	330
80	310
62	240

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$
80	300	6 400	90 000	24 000
79	302	6 241	91 204	23 858
83	315	6 889	99 225	26 145
84	330	7 056	108 900	27 720
78	300	6 084	90 000	23 400
60	250	3 600	62 500	15 000
82	300	6 724	90 000	24 600
85	340	7 225	115 600	28 900
79	315	6 241	99 225	24 885
84	330	7 056	108 900	27 720
80	310	6 400	96 100	24 800
62	240	3 844	57 600	14 880
936	3 632	73 760	1 109 254	285 908

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{936}{12}=78, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{3632}{12}=302.67,}$

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{285908}{12}-(78)(302.76)=217.41}$

${\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{73760}{12}-(78)^{2}=62.67 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{62.67}=7.92}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{1109254}{12}-(302.67)^{2}=828.7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{828.7}=28.8}$

El coeficiente de correlación está dado por ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{217.41}{(7.92)(28.8)}=0.95}$

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

La recta de regresión de de ${(y)}$ sobre ${(x)}$ , es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}$

${y-302.67=3.47(x-78)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${y=3.47x+32.01}$

Calcular el coeficiente de correlación y determinar la ecuación de la recta

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

Nº de horas dormidas ${(x)}$	6	7	8	9	10
Nº de horas de televisión ${(y)}$	4	3	3	2	1
Frecuencias absolutas ${(f_{i})}$	3	16	20	10	1

Se pide:

1Calcular el coeficiente de correlación.

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

Nº de horas dormidas ${(x)}$	6	7	8	9	10
Nº de horas de televisión ${(y)}$	4	3	3	2	1
Frecuencias absolutas ${(f_{i})}$	3	16	20	10	1

Se pide:

1Calcular el coeficiente de correlación.

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${f_{i}}$	${f_{i}\cdot x_{i}}$	${f_{i}\cdot x_{i}^2}$	${f_{i}\cdot y_{i}}$	${f_{i}\cdot y_{i}^{2}}$	${f_{i}\cdot x_{i}\cdot y_{i}}$
6	4	3	18	108	12	48	72
7	3	16	112	784	48	144	336
8	3	20	160	1280	60	180	480
9	2	10	90	810	20	40	180
10	1	1	10	100	1	1	10
		50	390	3082	141	413	1078

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{390}{50}=7.8, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{141}{50}=2.82,}$

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{1078}{50}-(7.8)(2.82)=-0.436}$

${\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{3082}{50}-(7.8)^{2}=0.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{0.8}=0.89}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{413}{50}-(2.82)^{2}=0.3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{0.3}=0.55}$

El coeficiente de correlación está dado por ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-0.436}{(0.89)(0.55)}=-0.88}$

Se tiene una correlación negativa y fuerte.

La recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ , es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}$

${y-2.82=-0.545(x-7.8)}$

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

${y=-0.545x+7.071}$

Para encontrar el número de horas que ve la televisión una persona que duerme ocho horas y media, sustituimos ${x=8.5}$ en la ecuación de regresión y obtenemos

${y=2.44 \; h.}$

Hallar el coeficiente de correlación y calcular la recta de regresión

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud ${(x)}$ dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba ${(y)}$ en cientos de euros.

${x}$	25	42	33	54	29	36
${y}$	42	72	50	90	45	48

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

2Calcular la recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud ${(x)}$ dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba ${(y)}$ en cientos de euros.

${x}$	25	42	33	54	29	36
${y}$	42	72	50	90	45	48

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

2Calcular la recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ .

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

${x_{i}}$	${y_{i}}$	${x_{i}^{2}}$	${y_{i}^{2}}$	${x_{i}\cdot y_{i}}$
25	42	625	1 764	1 050
42	72	1 764	5 184	3 024
33	50	1 089	2 500	1 650
54	90	2 916	8 100	4 860
29	45	841	2 025	1 305
36	48	1 296	2 304	1 728
209	347	8 531	21 877	13 617

Calculamos los promedios

${\overline{x}=\displaystyle\frac{219}{6}=36.5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{347}{6}=57.83,}$

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

${\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{13617}{6}-(36.5)(57.83)=158.71}$

${\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{8531}{6}-(36.5)^{2}=89.58 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{89.58}=9.46}$

${\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{21877}{6}-(57.83)^{2}=301.86 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{301.86}=17.37}$

El coeficiente de correlación está dado por ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}$

${r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{158.71}{(9.46)(17.37)}=0.97}$

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

La recta de regresión de ${y}$ sobre ${x}$ , es aquella que pasa por el punto ${(\overline{x}, \overline{y})}$ y tiene pendiente ${\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}$

${y-57.83=1.77(x-36.5)}$