La covarianza se representa por {s_{xy}} ó {\sigma_{xy}} y viene dada por las expresiones

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{N}}

 

{\sigma_{xy}}=\displaystyle\frac{\sum f_{i}x_{i}y_{i}}{N}-\overline{x}\;\overline{y}}

 

Hallar la ecuación de la recta de regresión

 

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

 

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

 

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

 

 

Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

 

1Hallar la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.

 

2¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

 

{x_{i}} {y_{i}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}} {x_{i}\cdot y_{i}}
2 14 4 196 28
3 20 9 400 60
5 32 25 1 024 160
7 42 49 1 764 294
8 44 64 1 936 352
25 152 151 5 320 894

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{25}{5}=5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{152}{5}=30.4,}

 

Calculamos la covarianza y la varianza de {y}

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{894}{5}-(5)(30.4)=26.8}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{5320}{5}-(30.4)^{2}=139.84}

 

La recta de regresión de la edad sobre el peso es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-5=0.192(y-30.4)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=0.192y-0.76}

 

Para encontrar el peso aproximado de un niño de seis años, sustituimos {x=6} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=35.55 \; kg}

 

Calcular el coeficiente de correlación lineal

 

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

 

Nº de Clientes {(X)} Distancia {(Y)}
8 15
7 19
6 25
4 23
2 34
1 40

 

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

 

2Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

 

3Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

 

 

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

 

Nº de Clientes {(X)} Distancia {(Y)}
8 15
7 19
6 25
4 23
2 34
1 40

 

1Calcular el coeficiente de correlación lineal.

 

2Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede esperar?

 

3Si desea recibir a 5 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe situarse?

 

{x_{i}} {y_{i}} {x_{i}\cdot y_{i}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}}
8 15 120 64 225
7 19 133 49 361
6 25 150 36 625
4 23 92 16 529
2 34 68 4 1 156
1 40 40 1 1 600
28 156 603 170 4 496

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{28}{6}=4.67, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{156}{6}=26,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{603}{6}-(4.67)(26)=-20.92}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{170}{6}-(6.67)^{2}=6.53 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{6.53}=2.55}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{4496}{6}-(26)^{2}=73.33 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{73.33}=8.56}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-20.92}{(2.55)(8.56)}=-0.96}

 

Se tiene una correlación negativa muy fuerte.

 

La recta de regresión de los clientes sobre la distancia, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-4.67=-0.29(y-26)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=-0.29y+12.09}

 

Para encontrar el número de clientes cuando el centro comercial se sitúa a 2 kilómetros, sustituimos {y=2} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{x=11.51 \approx 12  \; \mbox{ clientes}}

 

Si se desea recibir cinco clientes, sustituimos {x=5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=24.96 \; km}

 

Determinar las rectas de regresión

 

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

 

Matemáticas Química
6 6.5
4 4.5
8 7
5 5
3.5 4

 

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

 

 

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

 

Matemáticas Química
6 6. 5
4 4. 5
8 7
5 5
3. 5 4

 

Determinar las rectas de regresión y calcular la nota esperada en Química para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

 

{x_{i}} {y_{i}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}} {x_{i}\cdot y_{i}}
6 6.5 36 42.25 39
4 4.5 16 20.25 18
8 7 64 49 56
5 5 25 25 25
3.5 4 12. 25 16 14
26.5 27 153.25 152.5 152

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{26.5}{5}=5.3, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{27}{5}=5.4,}

 

Calculamos la covarianza y la varianza de {y}

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{152}{5}-(5.3)(5.4)=1.78}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{152.5}{5}-(5.4)^{2}=1.34}

 

La recta de regresión de la calificación de matemáticas sobre la calificación de química, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{x-5.3=1.33(y-5.4)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{x=1.33y-1.88}

 

De esta misma despejamos {y} y obtenemos la recta de regresión en términos de la calificación en matemáticas

 

{y=0.75x+1.41}

 

Para encontrar la nota esperada en química para un alumno que tiene siete punto cinco en matemáticas, sustituimos {x=7.5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=7.03}

 

Seleccionar razonadamente la recta de regresión

 

Un conjunto de datos bidimensionales {(X,Y)} tiene coeficiente de correlación {r=-0.9}, siendo las medias de las distribuciones marginales {\overline{x}=1, \; \overline{y}=2}. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de {Y} sobre {X}:

 

1{Y=-X+2}

 

2{3X-Y=1}

 

3{2X+Y=4}

 

4{Y=X+1}

 

Seleccionar razonadamente esta recta.

 

 

Un conjunto de datos bidimensionales {(X,Y)} tiene coeficiente de correlación {r=-0.9}, siendo las medias de las distribuciones marginales {\overline{x}=1, \; \overline{y}=2}. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresión de {Y} sobre {X}:

 

1{Y=-X+2}

 

2{3X-Y=1}

 

3{2X+Y=4}

 

4{Y=X+1}

 

Seleccionar razonadamente esta recta.

 

Como el coeficiente de correlación lineal es negativo, la pendiente de la recta también será negativa, por tanto descartamos 2 y 4

 

Un punto de la recta ha de ser {(\overline{x}, \overline{y})}, es decir, {(1, 2)}. Sustituimos en 1 y 3 para ver cual satisface la igualdad

 

{\begin{array}{rcl} 2&=&-1+2, \\  && \\ 2 &\neq & 1, \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{rcl} 2(1)+2 &= &4, \\ &&  \\ 4 & = & 4, \end{array} }

 

La recta pedida es 3.

 

Calcular la recta de regresión

 

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

 

Estatura {(x)} Pesos {(y)}
186 85
189 85
190 86
192 90
193 87
193 91
198 93
201 103
203 100
205 101

 

Calcular:

 

1La recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

2El coeficiente de correlación.

 

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

 

 

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

 

Estatura {(x)} Pesos {(y)}
186 85
189 85
190 86
192 90
193 87
193 91
198 93
201 103
203 100
205 101

 

Calcular:

 

1La recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

2El coeficiente de correlación.

 

3El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

 

{x_{i}} {y_{1}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}} {x_{i}\cdot y_{i}}
186 85 34 596 7 225 15 810
189 85 35 721 7 225 16 065
190 86 36 100 7 396 16 340
192 90 36 864 8 100 17 280
193 87 37 249 7 569 16 791
193 91 37 249 8 281 17563
198 93 39 204 8 649 18 414
201 103 40 401 10 609 20 703
203 100 41 209 10 000 20 300
205 101 42 025 10 201 20 705
1 950 921 380 618 85 255 179 971

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{1950}{10}=195, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{921}{10}=92.1,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{179971}{10}-(195)(92.21)=37.61}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{380618}{10}-(195)^{2}=36.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{36.8}=6.07}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{85255}{10}-(92.1)^{2}=43.09 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{43.09}=6.56}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{37.51}{(6.07)(6.56)}=0.94}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de los pesos sobre las estaturas, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-92.1=1.02(x-195)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=1.02x-106.8}

 

Para encontrar el eso de un jugador que mide 208 cm, sustituimos {x=208} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=105.36 \; kg.}

 

Determinar la recta de regresión y el coeficiente de correlación lineal

 

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller {(x)} y las unidades producidas {(y)}, determinar la recta de regresión de {(y)} sobre {(x)}, el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

 

Horas {(x)} Producción {(y)}
80 300
79 302
83 315
84 330
78 300
60 250
82 300
85 340
79 315
84 330
80 310
62 240

 

A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller {(x)} y las unidades producidas {(y)}, determinar la recta de regresión de {(y)} sobre {(x)}, el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

 

Horas {(x)} Producción {(y)}
80 300
79 302
83 315
84 330
78 300
60 250
82 300
85 340
79 315
84 330
80 310
62 240

 

{x_{i}} {y_{i}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}} {x_{i}\cdot y_{i}}
80 300 6 400 90 000 24 000
79 302 6 241 91 204 23 858
83 315 6 889 99 225 26 145
84 330 7 056 108 900 27 720
78 300 6 084 90 000 23 400
60 250 3 600 62 500 15 000
82 300 6 724 90 000 24 600
85 340 7 225 115 600 28 900
79 315 6 241 99 225 24 885
84 330 7 056 108 900 27 720
80 310 6 400 96 100 24 800
62 240 3 844 57 600 14 880
936 3 632 73 760 1 109 254 285 908

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{936}{12}=78, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{3632}{12}=302.67,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{285908}{12}-(78)(302.76)=217.41}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{73760}{12}-(78)^{2}=62.67 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{62.67}=7.92}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{1109254}{12}-(302.67)^{2}=828.7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{828.7}=28.8}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{217.41}{(7.92)(28.8)}=0.95}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de de {(y)} sobre {(x)}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-302.67=3.47(x-78)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=3.47x+32.01}

 

Calcular el coeficiente de correlación y determinar la ecuación de la recta

 

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

 

Nº de horas dormidas {(x)} 6 7 8 9 10
Nº de horas de televisión {(y)} 4 3 3 2 1
Frecuencias absolutas {(f_{i})} 3 16 20 10 1

 

Se pide:

 

1Calcular el coeficiente de correlación.

 

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

 

 

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

 

Nº de horas dormidas {(x)} 6 7 8 9 10
Nº de horas de televisión {(y)} 4 3 3 2 1
Frecuencias absolutas {(f_{i})} 3 16 20 10 1

 

Se pide:

 

1Calcular el coeficiente de correlación.

 

2Determinar la ecuación de la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto cabe esperar que vea la televisión?

 

{x_{i}} {y_{i}} {f_{i}} {f_{i}\cdot x_{i}} {f_{i}\cdot x_{i}^2} {f_{i}\cdot y_{i}} {f_{i}\cdot y_{i}^{2}} {f_{i}\cdot x_{i}\cdot y_{i}}
6 4 3 18 108 12 48 72
7 3 16 112 784 48 144 336
8 3 20 160 1280 60 180 480
9 2 10 90 810 20 40 180
10 1 1 10 100 1 1 10
50 390 3082 141 413 1078

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{390}{50}=7.8, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{141}{50}=2.82,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{1078}{50}-(7.8)(2.82)=-0.436}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{3082}{50}-(7.8)^{2}=0.8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{0.8}=0.89}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{413}{50}-(2.82)^{2}=0.3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{0.3}=0.55}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{-0.436}{(0.89)(0.55)}=-0.88}

 

Se tiene una correlación negativa y fuerte.

 

La recta de regresión de {y} sobre {x}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-2.82=-0.545(x-7.8)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=-0.545x+7.071}

 

Para encontrar el número de horas que ve la televisión una persona que duerme ocho horas y media, sustituimos {x=8.5} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=2.44 \; h.}

 

Hallar el coeficiente de correlación y calcular la recta de regresión

 

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud {(x)} dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba {(y)} en cientos de euros.

 

{x} 25 42 33 54 29 36
{y} 42 72 50 90 45 48

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

 

2Calcular la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

 

 

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud {(x)} dadas a seis dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba {(y)} en cientos de euros.

 

{x} 25 42 33 54 29 36
{y} 42 72 50 90 45 48

1Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.

 

2Calcular la recta de regresión de {y} sobre {x}.

 

3Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test.

 

{x_{i}} {y_{i}} {x_{i}^{2}} {y_{i}^{2}} {x_{i}\cdot y_{i}}
25 42 625 1 764 1 050
42 72 1 764 5 184 3 024
33 50 1 089 2 500 1 650
54 90 2 916 8 100 4 860
29 45 841 2 025 1 305
36 48 1 296 2 304 1 728
209 347 8 531 21 877 13 617

 

Calculamos los promedios

 

{\overline{x}=\displaystyle\frac{219}{6}=36.5, \ \ \ \ \overline{y}=\displaystyle\frac{347}{6}=57.83,}

 

Calculamos la covarianza, las varianza y las desviaciones estándares

 

{\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{13617}{6}-(36.5)(57.83)=158.71}

 

{\sigma_{x}^{2}=\displaystyle\frac{8531}{6}-(36.5)^{2}=89.58 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{x}=\sqrt{89.58}=9.46}

 

{\sigma_{y}^{2}=\displaystyle\frac{21877}{6}-(57.83)^{2}=301.86 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \sigma_{y}=\sqrt{301.86}=17.37}

 

El coeficiente de correlación está dado por {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{y}^{2}}}

 

{r=\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\cdot \sigma_{y}}=\frac{158.71}{(9.46)(17.37)}=0.97}

 

Se tiene una correlación positiva muy fuerte.

 

La recta de regresión de {y} sobre {x}, es aquella que pasa por el punto {(\overline{x}, \overline{y})} y tiene pendiente {\displaystyle\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^{2}}}

 

{y-57.83=1.77(x-36.5)}

 

Despejamos y obtenemos la recta de regresión

 

{y=1.77x-6.78}

 

Para predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test, sustituimos {x=47} en la ecuación de regresión y obtenemos

 

{y=76.41}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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