Definición

 

La covarianza de una muestra bidimensional es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Es decir

 

\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}{\left( x_i - \overline{x} \right) \left( y_i - \overline{y} \right)}

 

La covarianza se suele representar por s_{xy}. En algunas ocasiones también se suele representar mediante \sigma_{xy}, aunque no es recomendable.

 

Otra manera equivalente de calcular la covarianza es

 

\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}{x_i y_i} - \overline{x} \cdot \overline{y}

 

El resultado debe ser el mismo sin importar la fórmula utilizada —observa que el producto \overline{x} \cdot \overline{y} no se divide por n.

 

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Interpretación y propiedades

 

La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables

Si \alpha_{xy}> 0 la correlación es directa.

Si \alpha_{xy}< 0 la correlación es inversa.

La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.

Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros o en centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares.

 

Ejemplos

 

Las notas de 12 alumnos de una clase en matemáticas y física son las siguientes:

 

Matemáticas Física
2 1
3 3
4 2
4 4
5 4
6 4
6 6
7 4
7 6
8 7
10 9
10 10

 

Hallar la covarianza de la distribución.

 

x_i y_i x_i \cdot y_i
2 1 2
3 3 9
4 2 8
4 4 16
5 4 20
6 4 24
6 6 36
7 4 28
7 6 42
8 7 56
10 9 90
10 10 100
72 60 431

Después de tabular los datos hallamos las medias aritméticas:

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{72}{12}=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bar{y}=\frac{60}{12}=5

 

\displaystyle \alpha_{xy} = \frac{431}{12}-6 \cdot 5=5.92

 

Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

X/Y 0 2 4
1 2 1 3
2 1 4 2
3 2 5 0

Hallar la covarianza de la distribución.

En primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple y calculamos las medias aritméticas.

x_i y_i f_i x_i \cdot f_i y_i \cdot f_i x_i \cdot y_i \cdot f_i
 

0

1 2 0 2 0
0 2 1 0 2 0
0 3 2 0 6 0
2 1 1 2 1 2
2 2 4 8 8 16
2 3 5 10 15 30
4 1 3v 12 3 12
4 2 2 8 4 16
20 40 41 76

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{40}{20}=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bar{y}=\frac{41}{20}=2.05

 

\displaystyle \alpha_{xy} = \frac{76}{20}-2 \cdot 2.05=-0.3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗