Name: Ejercicios de correlacion y regresion
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1 Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para investigar la relación cuenta con los siguientes datos:

$\begin{matrix} \hline \textup{X} & \textup{Y}\\ \hline 189 & 402 \\ 190 & 404 \\ 208 & 412 \\ 227 & 425 \\ 239 & 429 \\ 252 & 436 \\ 257 & 440 \\ 274 & 447 \\ 293 & 458 \\ 308 & 469 \\ 316 & 469 \\ \hline \end{matrix}$

X representa la renta nacional en millones de euros e Y representa las ventas de la compañía en miles de euros en el periodo que va desde $1990$ hasta $2000$ (ambos inclusive). Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

2 El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

3 Si en $2001$ la renta nacional del país fue de $325$ millones de euros. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?

Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para investigar la relación cuenta con los siguientes datos:

X representa la renta nacional en millones de euros e Y representa las ventas de la compañía en miles de euros en el periodo que va desde $1990$ hasta $2000$ (ambos inclusive). Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

$\begin{matrix} \hline & \textup{X}_{i} & \textup{Y}_{i} & \textup{X}_{i}^{2} & \textup{Y}_{i}^{2} & \textup{X}_{i}\cdot \textup{Y}_{i}\\ \hline & 189 & 402 & 35721 & 161604 & 75978\\ & 190 & 404 & 36100 & 163216 & 76760\\ & 208 & 412 & 43264 & 169744 & 85696\\ & 227 & 425 & 51529 & 180625 & 96475\\ & 239 & 429 & 57121 & 184041 & 102531\\ & 252 & 436 & 63504 & 190096 & 109872\\ & 257 & 440 & 66049 & 193600 & 113080\\ & 274 & 447 & 75076 & 199809 & 122478\\ & 293 & 458 & 85849 & 209764 & 134194\\ & 308 & 469 & 94864 & 219961 & 144452\\ & 316 & 469 & 99856 & 219961 & 148204\\ \sum & 2753 & 4791 & 708933 & 2092421 & 1209720 \\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}=\cfrac{2753}{11}=250.27$

$\bar{y}=\cfrac{4791}{11}=435.55$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{708933}{11}-250.27^{2}=1813.38$

$\sigma _{y}^{2}=\cfrac{2092421}{11}-435.55^{2}=516.29$

$\sigma _{x}=\sqrt{1813.38}=42.58$

$\sigma _{y}=\sqrt{516.29}=22.72$

$\sigma _{xy}=\cfrac{1209720}{11}-250.27\cdot 435.55=469.45$

$y-435.55=0.53(x-250.27)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=0.53+302.91$

2 El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

$r=\cfrac{469.45}{42.58\cdot 22.81}=0.998$

Es un coeficiente de correlación positivo y cercano a uno, por lo que la correlación es directa y fuerte.

3 Si en $2001$ la renta nacional del país fue de $325$ millones de euros. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?

$y=0.53\cdot 325+302.91=475.16$

2 La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en cientos de miles de euros para explotaciones agrícolas, se muestra en el siguiente cuadro: Inversión (X), Rendimiento (Y)

$\begin{matrix} \hline \textup{X} & \textup{Y}\\ \hline 11 & 2\\ 14 & 3\\ 16 & 5\\ 15 & 6\\ 16 & 5\\ 18 & 3\\ 20 & 7\\ 21 & 10\\ 14 & 6\\ 20 & 10\\ 19 & 5\\ 11 & 6\\ \hline \end{matrix}$

Calcular:

1 La recta de regresión del rendimiento respecto de la inversión.

2 La previsión de inversión que se obtendrá con un rendimiento de 1 250 000 €.

La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en cientos de miles de euros para explotaciones agrícolas, se muestra en el siguiente cuadro:

$\begin{matrix} \hline \textup{X} & \textup{Y}\\ \hline 11 & 2\\ 14 & 3\\ 16 & 5\\ 15 & 6\\ 16 & 5\\ 18 & 3\\ 20 & 7\\ 21 & 10\\ 14 & 6\\ 20 & 10\\ 19 & 5\\ 11 & 6\\ \hline \end{matrix}$

Calcular:

1 La recta de regresión del rendimiento respecto de la inversión.

$\begin{matrix} \hline &\textup{X}_{i} & \textup{Y}_{i} & \textup{X}^{2}_{i} & \textup{Y}^{2}_{i} & \textup{X}_{i}^{2}\cdot \textup{Y}_{i}^{2}\\ \hline &11 & 2 & 121 & 4 & 22\\ &14 & 3 & 196 & 9 & 42\\ &16 & 5 & 256 & 25 & 80\\ &15 & 6 & 225 & 36 & 90\\ &16 & 5 & 256 & 25 & 80\\ &18 & 3 & 324 & 9 & 54\\ &20 & 7 & 400 & 49 & 140\\ &21 & 10 & 441 & 100 & 210\\ &14 & 6 & 196 & 36 & 84\\ &20 & 10 & 400 & 100 & 200\\ &19 & 5 & 361 & 25 & 95\\ &11 & 6 & 121 & 36 & 66\\ \sum & 195 & 68 & 3297 & 454 & 1163\\\hline \end{matrix}$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{3297}{12}-16.25^{2}=10.96$

$\sigma _{y}^{2}=\cfrac{454}{12}-5.67^{2}=5.68$

$\sigma _{xy}=\cfrac{1163}{12}-16.25\cdot 5.67=4.78$

$y-7.75=\cfrac{4.78}{10.96}\, (x-16.25)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=0.45x-1.64$

2 La previsión de inversión que se obtendrá con un rendimiento de 1 250 000 €.

$x-16.25=\cfrac{4.78}{5.68}\, (y-5.67)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=0.84y+11.47$

$x=0.84\cdot 12.5+11.47=21.97$

$21.97\cdot 100000=2197000$

3 El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es: Horas (X)Calificación (Y)

$\begin{matrix} \hline \textup{X} & \textup{Y}\\ \hline 20 & 6.5 \\ 16 & 6 \\ 34 & 8.5 \\ 23 & 7 \\ 27 & 9 \\ 32 & 9.5 \\ 18 & 7.5 \\ 22 & 8 \\ \hline \end{matrix}$

Se pide:

1 Recta de regresión de Y sobre X.

2 Calificación estimada para una persona que hubiese estudiado $28$ horas.

El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es:

$\begin{matrix} \hline \textup{X} & \textup{Y}\\ \hline 20 & 6.5 \\ 16 & 6 \\ 34 & 8.5 \\ 23 & 7 \\ 27 & 9 \\ 32 & 9.5 \\ 18 & 7.5 \\ 22 & 8 \\ \hline \end{matrix}$

Se pide:

1 Recta de regresión de Y sobre X.

$\begin{matrix} \hline & \textup{X}_{i} & \textup{Y}_{i} & \textup{X}_{i}^{2} & \textup{Y}_{i}^{2} & \textup{X}_{i}\cdot \textup{Y}_{i} \\ \hline &20 & 6.5 & 256 & 36 & 96 \\ & 16 & 6 & 324 & 56.25 & 135 \\ &34 & 8.5 & 400 & 42.25 & 130 \\ &23 & 7 & 484 & 64 & 176 \\ &27 & 9 & 529 & 49 & 161 \\ &32 & 9.5 & 729 & 81 & 243 \\ &18 & 7.5 & 1024 & 90.25 & 304 \\ &22 & 8 & 1156 & 72.25 & 289 \\ \sum & 192 & 62 & 4902 & 491 & 1534 \\ \hline \end{matrix}$ ]

$\bar{x}=\cfrac{192}{8}=24$ $\bar{y}=\cfrac{62}{8}=7.75$

$\sigma ^{2}=\cfrac{4902}{8}-24^{2}=36.75$

$\sigma_{xy}=\cfrac{1534}{8}-24\cdot 7.75=5.75$

$y-7.75=\cfrac{5.75}{3.75}\, (x-24)$

$y=0.156x+4.006$

2 Calificación estimada para una persona que hubiese estudiado $28$ horas.

$y=0.156\cdot 28+4.006=8.4$

4 En la tabla siguiente se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (medida en una escala de cero a 10) de 10 niños. EdadConducta Agresiva

$\begin{matrix} \hline \textup{Edad} & \textup{Conducta agresiva} \\ \hline 6 & 9\\ 6 & 6\\ 6.7 & 7\\ 7 & 8\\ 7.4 & 7\\ 7.9 & 4\\ 8 & 2\\ 8.2 & 3\\ 8.5 & 2\\ 8.9 & 1\\ \hline \end{matrix}$

1 Obtener la recta de regresión de la conducta agresiva en función de la edad.

2 A partir de dicha recta, obtener el valor de la conducta agresiva que correspondería a un niño de $7.2$ años.

En la tabla siguiente se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (medida en una escala de cero a 10) de 10 niños.

$\begin{matrix} \hline \textup{Edad} & \textup{Conducta agresiva} \\ \hline 6 & 9\\ 6 & 6\\ 6.7 & 7\\ 7 & 8\\ 7.4 & 7\\ 7.9 & 4\\ 8 & 2\\ 8.2 & 3\\ 8.5 & 2\\ 8.9 & 1\\ \hline \end{matrix}$

1 Obtener la recta de regresión de la conducta agresiva en función de la edad.

$\begin{matrix} \hline & \textup{X}_{i} & \textup{Y}_{i} & \textup{X}_{i}^{2}& \textup{Y}_{i}^{2} & \textup{X}_{i}\cdot \textup{Y}_{i}\\ \hline &6 & 9 & 36 & 81 & 54\\ &6 & 6 & 40.96 & 36 & 38.4\\ &6.7 & 7 & 44.89 & 49 & 46.9\\ &7 & 8 & 49 & 64 & 56\\ &7.4 & 7 & 54.76 & 49 & 51.8\\ &7.9 & 4 & 62.41 & 16 & 31.6\\ &8 & 2 & 64 & 4 & 16\\ &8.2 & 3 & 67.24 & 9 & 24.6\\ &8.5 & 2 & 72.25 & 4 & 17\\ &8.9 & 1 & 79.21 & 1 & 8.9\\ \sum & 75 & 49 & 570.72 & 313 & 345.2\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}=\cfrac{75}{10}=7.5$ $\bar{y}=\cfrac{49}{10}=4.9$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{570.72}{10}-7.5^{2}=0.82$ $\sigma _{y}^{2}=\cfrac{313}{10}-4.9^{2}=7.29$

$\sigma _{xy}=\cfrac{345.2}{10}-7.5=-2.23$

$y-4.9=-2.72(x-7.5)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=-2.72x+25.3$

2 A partir de dicha recta, obtener el valor de la conducta agresiva que correspondería a un niño de 7.2 años.

$y=-2.72\cdot 7.2+25.3=5.72$

5 Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

$\begin{matrix} Y/X & 100 & 50 & 25\\ 14 & 1 & 1 & 0\\ 18 & 2 & 3 & 0\\ 22 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}$

Se pide:

1 Calcular la covarianza.

2Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal.

3Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

$\begin{matrix} Y/X & 100 & 50 & 25\\ 14 & 1 & 1 & 0\\ 18 & 2 & 3 & 0\\ 22 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}$

Se pide:

1 Calcular la covarianza.

Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple.

$\begin{matrix} \hline & \textup{x}_{i} & \textup{y}_{i} & \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}^{2}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{y}_{i}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{y}_{i}^{2}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{y}_{i}\cdot \textup{f}_{i}\\ \hline & 100 & 14 & 1 & 100 & 10000 & 14 & 196 & 1400 \\ & 100 & 18 & 2 & 200 & 20000 & 36 & 648 & 3600 \\ & 50 & 14 & 1 & 50 & 2500 & 14 & 196 & 700 \\ & 50 & 18 & 3 & 150 & 7500 & 54 & 972 & 2700 \\ & 50 & 22 & 1 & 50 & 2500 & 22 & 484 & 1100 \\ & 25 & 22 & 2 & 50 & 1250 & 44 & 968 & 1100 \\ \hline \sum & & & 10 & 600 & 43750 & 184 & 3464 & 10600\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}=\cfrac{600}{10}=60$ $\bar{y}=\cfrac{184}{10}=18.4$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{43750}{10}-60^{2}=775$ $\sigma _{y}^{2}=\cfrac{3464}{10}-18.4^{2}=7.84$

$\sigma _{x}=\sqrt{775}=27.84$ $\sigma _{y}=\sqrt{7.84}=2.8$

$\sigma _{xy}=\cfrac{10600}{10}-60\cdot 18.4=-44$

2 Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal.

$r=\cfrac{-44}{27.84\cdot 2.8}=-0.56$

Es una correlación negativa débil.

3 Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

$y-18.4=-0.06(x-60)\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=-0.06x+22$

6 Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una batería de test que mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y) son las siguientes:

$\begin{matrix} 22> Y/X & 22> 20 & 22> 30 & 22> 40 & 22> 50\\ 22> (25-35) & 6 & 4 & 0 & 0\\ 22> (35-45) & 3 & 6 & 1 & 0\\ 22> (45-55) & 0 & 2 & 5 & 3\\ 22> (55-65) & 0 & 1 & 2 & 7 \end{matrix}$

Se pide:

1¿Existe correlación entre ambas variables?

2Según los datos de la tabla, si uno de estos alumnos obtiene una puntuación de $70$ puntos en razonamiento abstracto, ¿en cuánto se estimará su habilidad verbal?

Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una batería de test que mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y) son las siguientes:

$\begin{matrix} 22> Y/X & 22> 20 & 22> 30 & 22> 40 & 22> 50\\ 22> (25-35) & 6 & 4 & 0 & 0\\ 22> (35-45) & 3 & 6 & 1 & 0\\ 22> (45-55) & 0 & 2 & 5 & 3\\ 22> (55-65) & 0 & 1 & 2 & 7 \end{matrix}$

Se pide:

1 ¿Existe correlación entre ambas variables?

Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.

$\begin{matrix} \hline & \textup{x}_{i} & \textup{y}_{i} & \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}^{2}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{y}_{i}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{y}_{i}^{2}\cdot \textup{f}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{y}_{i}\cdot \textup{f}_{i}\\ \hline & 20 & 30 & 6 & 120 & 2400 & 180 & 5400 & 3600\\ & 20 & 40 & 3 & 60 & 1200 & 120 & 4800 & 2400\\ & 30 & 30 & 4 & 120 & 3600 & 120 & 3600 & 3600\\ & 30 & 40 & 6 & 180 & 5400 & 240 & 9600 & 7200\\ & 30 & 50 & 2 & 60 & 1800 & 100 & 5000 & 3000\\ & 30 & 60 & 1 & 30 & 900 & 60 & 3600 & 1800\\ & 40 & 40 & 1 & 40 & 1600 & 40 & 1600 & 1600\\ & 40 & 50 & 5 & 200 & 8000 & 250 & 12500 & 10000\\ & 40 & 60 & 2 & 80 & 3200 & 120 & 7200 & 4800\\ & 50 & 50 & 3 & 150 & 7500 & 150 & 7500 & 7500\\ & 50 & 60 & 7 & 350 & 17500 & 420 & 25200 & 21000\\ \hline \sum & & & 40 & 1390 & 53100 & 1080 & 86000 & 66500\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}=\cfrac{1390}{40}=34.75$ $\bar{y}=\cfrac{1800}{40}=45$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{53100}{40}-34.75^{2}=119.94$ $\sigma _{y}^{2}=\cfrac{86000}{40}-45^{2}=125$

$\sigma _{x}=\sqrt{119.94}=10.95$ $\sigma _{y}=\sqrt{125}=11.18$

$\sigma _{xy}=\cfrac{66500}{40}-34.75\cdot 45=98.75$

$r=\cfrac{98.75}{10.95\cdot 11.18}=0.81$

Existe una correlación positiva fuerte

2 Según los datos de la tabla, si uno de estos alumnos obtiene una puntuación de $70$ puntos en razonamiento abstracto, ¿en cuánto se estimará su habilidad verbal?

$x-34.75=\cfrac{98.75}{125}\, (y-45)\; \; \; \; \; \Rightarrow \: \: \: \: \: x=0.79y-0.8$

$x=0.79\cdot 70-0.8=54.5$

7 Se sabe que entre el consumo de papel y el número de litros de agua por metro cuadrado que se recogen en una ciudad no existe relación.

1¿Cuál es el valor de la covarianza de estas variables?

2¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal?

3¿Qué ecuaciones tienen las dos rectas de regresión y cuál es su posición en el plano?

Se sabe que entre el consumo de papel y el número de litros de agua por metro cuadrado que se recogen en una ciudad no existe relación.

1 ¿Cuál es el valor de la covarianza de estas variables?

$\sigma _{xy}=0$

2 ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal?

$r=0$

3 ¿Qué ecuaciones tienen las dos rectas de regresión y cuál es su posición en el plano?

$\bar{x}=k_{1},\bar{y}=k_{2}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; k_{1},k_{2}\; \epsilon\; \mathbb{R}^{+}$

Las rectas son paralelas a los ejes y perpendiculares entre sí.

8 En una empresa de transportes trabajan cuatro conductores. Los años de antigüedad de permisos de conducir y el número de infracciones cometidas en el último año por cada uno de ellos son los siguientes:

$\begin{matrix} \hline \textup{A\~{n}os (X)} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \textup{Infracciones (Y)} & 4 & 3 & 2 & 1\\ \hline \end{matrix}$

Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

En una empresa de transportes trabajan cuatro conductores. Los años de antigüedad de permisos de conducir y el número de infracciones cometidas en el último año por cada uno de ellos son los siguientes:

$\begin{matrix} \hline \textup{A\~{n}os (X)} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \textup{Infracciones (Y)} & 4 & 3 & 2 & 1\\ \hline \end{matrix}$

Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.

$\begin{matrix} \hline & \textup{x}_{i} & \textup{y}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{y}_{i} & \textup{x}_{i}^{2} & \textup{y}_{i}^{2} \\ \hline & 3 & 4 & 12 & 9 & 16\\ & 4 & 3 & 12 & 16 & 9\\ & 5 & 2 & 10 & 25 & 4\\ & 6 & 1 & 6 & 36 & 1\\ \hline \sum & 18 & 10 & 40 & 86 & 30\\ \hline \end{matrix}$

$\bar{x}=\cfrac{18}{4}=4.5$ $\bar{y}=\cfrac{10}{4}=2.5$

$\sigma _{x}^{2}=\cfrac{86}{4}-4.5^{2}=1.25$ $\sigma _{y}^{2}=\cfrac{30}{4}-2.5^{2}=1.25$

$\sigma _{xy}=\cfrac{40}{4}-4.5\cdot 2.5=-1.25$

$r=\cfrac{-1.25}{\sqrt{1.25}\cdot \sqrt{1.25}}=\cfrac{-1.25}{1.25}=-1$

La correlación es perfecta e inversa.

9 Una persona rellena semanalmente una quiniela y un boleto de lotería primitiva anotando el número de aciertos que tiene. Durante las cuatro semanas del mes de febrero, los aciertos fueron:

$\begin{matrix} \textup{Quiniela (X)} & 6 & 8 & 6 & 8\\ \textup{Primitiva (Y)} & 1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}$

Obtener el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. ¿Ofrecerían confianza las previsiones hechas con las rectas de regresión?

Una persona rellena semanalmente una quiniela y un boleto de lotería primitiva anotando el número de aciertos que tiene. Durante las cuatro semanas del mes de febrero, los aciertos fueron:

$\begin{matrix} \textup{Quiniela (X)} & 6 & 8 & 6 & 8\\ \textup{Primitiva (Y)} & 1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}$

Obtener el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. ¿Ofrecerían confianza las previsiones hechas con las rectas de regresión?

$\begin{matrix} \hline & \textup{x}_{i} & \textup{y}_{i} & \textup{x}_{i}\cdot \textup{y}_{i} & \textup{x}_{i}^{2} & \textup{y}_{i}^{2}\\ \hline & 6 & 1 & 6 & 36 & 1\\ & 8 & 2 & 16 & 64 & 4\\ & 6 & 2 & 12 & 36 & 4\\ & 8 & 1 & 8 & 64 & 1\\ \hline \sum & 28 & 6 & 42 & 200 & 10 \\ \hline \end{matrix}$