Área entre una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

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Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1.

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

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Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

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2.

Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

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3.

Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

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Ecuación de la recta que pasa por BC:

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2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

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Ejemplo

1.

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

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2.

Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

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3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1.

Hallar el área limitada por la recta Explicaciones y ejemplos de Área de funciones - 21, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

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2.

Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

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El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

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Hallamos los nuevos límites de integración.

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