Capítulos
En este artículo vamos a representar gráficamente la función
estudiando los siguientes puntos:
Dominio
Dado que la función en cuestión es una función racional, entonces el dominio de la función serán todo los números reales menos aquellos puntos donde el denominador se anula, es decir, menos aquellos puntos donde la función no existe. Así, hacemos
la cual no tiene solución en 
. Por lo tanto el dominio de la función es: 
Simetría
Nótese que 
es decir, la función es impar. Por lo tanto tenemos simetría respecto al origen.
Puntos de corte con los ejes
- Puntos de corte con el eje
: Para encontrar estos puntos debemos hacer 
y resolver. Esto es,
Por lo tanto el único punto de corte con el eje es 
. - Puntos de corte con el eje
: Para encontrar estos puntos debemos hacer 
y ver cuál es el valor de la función
Así, el único punto de corte con el eje es .
Asíntotas
- Asíntotas horizontales: Observe que
Así, la recta 
, es la única asíntota horizontal puesto que también se tiene que 
- Asíntotas verticales: Ya que el dominio de la función es , entonces la función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas oblicuas: Debido a que la función presenta al menos una asíntota horizontal, entonces la función no tiene asíntotas oblicuas.
Crecimiento y decrecimiento
Primero encontramos la primera derivada, la igualamos a cero y despejamos 
Luego se tiene que
Por lo tanto los puntos críticos de la función ocurren cuando 
Ahora revisamos los signos al segmentar el dominio:
De aquí obtenemos que la función es:
- Creciente en
. - Decreciente en
.
Mínimos y máximos
Para encontrar los mínimos y máximos debemos calcular la segunda derivada y evaluarla en los puntos críticos. Tenemos que, la segunda derivada de la función es:
Luego, evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos 
encontrados anteriormente.
- En
, tenemos que
Así, como
, entonces sabemos que el punto 
es un mínimo, esto es, tenemos un mínimo en el punto 
. - En
, tenemos que
Así, como
, entonces sabemos que el punto 
es un máximo, esto es, tenemos un máximo en el punto 
.
Concavidad y convexidad
Para determinar la concavidad y convexidad debemos hacer 
y resolver para 
:
Es decir, 
Ahora revisamos los signos de 
al segmentar el dominio con estos puntos:
Pero sabemos que, si 
en un intervalo, entonces la función 
es convexa en ese intervalo. De igual manera, si 
en un intervalo, entonces la función es cóncava en ese intervalo.
Entonces tenemos que la función es
- Convexa en
. - Cóncava en
.
Puntos de inflexión
Para encontrar los puntos de inflexión haremos uso del criterio de la tercera derivada ( ver: ¿Qué son los puntos de inflexión?). Tenemos que
Ahora, evaluamos 
en los puntos 
y 
que corresponden a los valores que obtuvimos al hacer y continuando con el criterio de la tercera derivada, si 
, donde 
denota cualquiera de los tres puntos anteriores, entonces tenemos un punto de inflexión en 
. Sustituyendo:
- Si , entonces
Luego, tenemos un punto de inflexión en
, es decir, en . - Si
, entonces
Luego, tenemos un punto de inflexión en 
, es decir, en 
. - Si
, entonces
Luego, tenemos un punto de inflexión en
, es decir, en
.
Representación gráfica
La gráfica de la función se representa en la siguiente figura:
Para ver más ejemplos como este, visitar:
Ejercicios resueltos de representación de funciones
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.