Qué es el Teorema de Weierstrass
Si una función 
está definida y es continua en un intervalo cerrado 
, entonces alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:
si 
El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.
Aplicado en la vida real se puede usar en empresas. Por ejemplo, en una empresa la producción se puede conocer con la fórmula 
, donde 
es el tiempo de producción y 
la cantidad de producto y queremos saber si tiene una producción máxima o mínima en el intervalo de tiempo 
meses hasta 
meses o 
.
Ejemplos del teorema Weierstrass
1 
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función, tanto la función 
como 
son funciones polinomiales entonces su dominio es 
, ahora si evaluamos 
en las dos funciones el resultado será 
entonces podemos decir que es continua en el intervalo 
.
Ahora aplicamos el teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo , en la siguiente grafica se representa a la función.
Claramente en la gráfica se puede ver que:
si 
.
en el intervalo 
. Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , que es 
, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 
y no esta en el intervalo .
Entonces aplicamos el teorema teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
3 
en el intervalo 
.
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , y como es una función racional tomamos solo el denominador e igualamos a cero.
Ahora despejamos 
,
Entonces el dominio es 
, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 
y como esta en el intervalo por lo tanto no podemos usar el teorema de Weierstrass ya que un requisito es que sea continua en el intervalo requerido y en el punto no lo es.
Entonces no sabemos si hay un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.