Qué es el Teorema de Weierstrass
Si una función está definida y es continua en un intervalo cerrado
, entonces
alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo
.
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:
si
El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.
Aplicado en la vida real se puede usar en empresas. Por ejemplo, en una empresa la producción se puede conocer con la fórmula , donde
es el tiempo de producción y
la cantidad de producto y queremos saber si tiene una producción máxima o mínima en el intervalo de tiempo
meses hasta
meses o
.
Ejemplos del teorema Weierstrass
1
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función, tanto la función como
son funciones polinomiales entonces su dominio es
, ahora si evaluamos
en las dos funciones el resultado será
entonces podemos decir que es continua en el intervalo
.
Ahora aplicamos el teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo , en la siguiente grafica se representa a la función.
Claramente en la gráfica se puede ver que:
si
.
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , que es
, lo que implica que el único número que no esta definida la función es
y no esta en el intervalo
.
Entonces aplicamos el teorema teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
3 en el intervalo
.
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , y como es una función racional tomamos solo el denominador e igualamos a cero.
Ahora despejamos ,
Entonces el dominio es , lo que implica que el único número que no esta definida la función es
y como esta en el intervalo
por lo tanto no podemos usar el teorema de Weierstrass ya que un requisito es que sea continua en el intervalo requerido y en el punto
no lo es.
Entonces no sabemos si hay un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
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Lo que no te dice es un método general para tu hallar ese máximo y mínimo para una función dada en un intervalo cerrado y acotado dado con las hipótesis mencionadas
no entiendo, y si es una recta? sigue estando definida y no hay max ni mins
Hola.
El detalle aquí es que no tomas todo el dominio de la función, solo tomas un «pedazo», aquel que esta definido en un intervalo cerrado [a,b], y solo tomas en cuenta los valores de la función en este intervalo. De esta forma el máximo y mínimo de los que se habla solo están presentes para ese intervalo.
Por ejemplo si tomas una función f(x) que esta definida en el intervalo [-2,3] entonces esta función alcanzara un máximo y mínimo local en este intervalo.
Saludos.