Qué es el Teorema de Weierstrass
Si una función 
está definida y es continua en un intervalo cerrado ![\left [ a,b \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb0b1947188eb39076800e0fa71f5e10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, entonces alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:
si ![x\epsilon \left [ a,b \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ba6fc3315dfa20a32c500c75cace214_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.
Aplicado en la vida real se puede usar en empresas. Por ejemplo, en una empresa la producción se puede conocer con la fórmula 
, donde 
es el tiempo de producción y 
la cantidad de producto y queremos saber si tiene una producción máxima o mínima en el intervalo de tiempo 
meses hasta 
meses o ![\left [ 0,7 \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5afd71524543e5aca5f9299012c7dfa4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Ejemplos del teorema Weierstrass
1 
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función, tanto la función 
como 
son funciones polinomiales entonces su dominio es 
, ahora si evaluamos 
en las dos funciones el resultado será 
entonces podemos decir que es continua en el intervalo ![\left [ -1,4 \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b99c96e76637449d44767d20690bf9f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Ahora aplicamos el teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo , en la siguiente grafica se representa a la función.
Claramente en la gráfica se puede ver que:
si ![x\epsilon \left [ -1,4 \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb497f06085fd083b8bbc01a8d8d14a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
en el intervalo ![\left [ 2,4 \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1e8409378cfe0bd2e4d77a785526607_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , que es 
, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 
y no esta en el intervalo .
Entonces aplicamos el teorema teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
3 
en el intervalo ![\left [ -2,2 \right ]](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ebd72433ed448255996b65444ee8e56_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función , y como es una función racional tomamos solo el denominador e igualamos a cero.
Ahora despejamos 
,
Entonces el dominio es 
, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 
y como esta en el intervalo por lo tanto no podemos usar el teorema de Weierstrass ya que un requisito es que sea continua en el intervalo requerido y en el punto no lo es.
Entonces no sabemos si hay un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo .
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Lo que no te dice es un método general para tu hallar ese máximo y mínimo para una función dada en un intervalo cerrado y acotado dado con las hipótesis mencionadas
no entiendo, y si es una recta? sigue estando definida y no hay max ni mins
Hola.
El detalle aquí es que no tomas todo el dominio de la función, solo tomas un «pedazo», aquel que esta definido en un intervalo cerrado [a,b], y solo tomas en cuenta los valores de la función en este intervalo. De esta forma el máximo y mínimo de los que se habla solo están presentes para ese intervalo.
Por ejemplo si tomas una función f(x) que esta definida en el intervalo [-2,3] entonces esta función alcanzara un máximo y mínimo local en este intervalo.
Saludos.