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Qué es el Teorema de Weierstrass
Ejemplos del teorema Weierstrass

Qué es el Teorema de Weierstrass

Si una función $f(x)$ está definida y es continua en un intervalo cerrado $\left [ a,b \right ]$ , entonces $f(x)$ alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $\left [ a,b \right ]$ .

Es decir, que hay al menos dos puntos x₁, x₂ pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

$f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ si $x\epsilon \left [ a,b \right ]$

El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

Aplicado en la vida real se puede usar en empresas. Por ejemplo, en una empresa la producción se puede conocer con la fórmula $f(t)=t^2-3$ , donde $t$ es el tiempo de producción y $f(t)$ la cantidad de producto y queremos saber si tiene una producción máxima o mínima en el intervalo de tiempo $t=0$ meses hasta $t=7$ meses o $\left [ 0,7 \right ]$ .

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Ejemplos del teorema Weierstrass

1 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}, x< 2 & \\x+2, x\geq 2 & \end{matrix}\right.$

Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función, tanto la función $f(x)=x^2$ como $f(x)=x+2$ son funciones polinomiales entonces su dominio es $\left ( -\infty ,\infty \right )$ , ahora si evaluamos $f(2)$ en las dos funciones el resultado será $4$ entonces podemos decir que es continua en el intervalo $\left [ -1,4 \right ]$ .

Ahora aplicamos el teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $\left [ -1,4 \right ]$ , en la siguiente grafica se representa a la función.

Claramente en la gráfica se puede ver que:
$0\leqslant f(x)\leqslant6$ si $x\epsilon \left [ -1,4 \right ]$ .

2 $f(x)=\frac{1}{x}$

en el intervalo $\left [ 2,4 \right ]$

Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función $f(x)=\frac{1}{x}$ , que es $\left ( -\infty ,\infty \right )/\left \{ 0 \right \}$ , lo que implica que el único número que no esta definida la función es $0$ y no esta en el intervalo $\left [ 2,4 \right ]$ .

Entonces aplicamos el teorema teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $\left [ 2,4 \right ]$ .

3 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ en el intervalo $\left [ -2,2 \right ]$ .

Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función $f(x)=\frac{1}{x-1}$ , y como es una función racional tomamos solo el denominador e igualamos a cero.
$x-1=0$
Ahora despejamos $x$ ,
$x=1$
Entonces el dominio es $\left ( -\infty ,\infty \right )/\left \{ 1 \right \}$ , lo que implica que el único número que no esta definida la función es $1$ y como esta en el intervalo $\left [ -2,2 \right ]$ por lo tanto no podemos usar el teorema de Weierstrass ya que un requisito es que sea continua en el intervalo requerido y en el punto $x=1$ no lo es.

Entonces no sabemos si hay un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo $\left [ -2,2 \right ]$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Carlos

Febrero 2022

Lo que no te dice es un método general para tu hallar ese máximo y mínimo para una función dada en un intervalo cerrado y acotado dado con las hipótesis mencionadas

ara

Octubre 2020

no entiendo, y si es una recta? sigue estando definida y no hay max ni mins

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre 2020

Hola.

El detalle aquí es que no tomas todo el dominio de la función, solo tomas un «pedazo», aquel que esta definido en un intervalo cerrado [a,b], y solo tomas en cuenta los valores de la función en este intervalo. De esta forma el máximo y mínimo de los que se habla solo están presentes para ese intervalo.

Por ejemplo si tomas una función f(x) que esta definida en el intervalo [-2,3] entonces esta función alcanzara un máximo y mínimo local en este intervalo.

Saludos.