Qué es el Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado \left [ a,b \right ], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo \left [ a,b \right ].

Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})           si x\epsilon \left [ a,b \right ]

Representación de un máximo y un mínimo

 

El teorema de Weierstrass no nos indica dónde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

Aplicado en la vida real se puede usar en empresas. Por ejemplo, en una empresa la producción se puede conocer con la fórmula f(t)=t^2-3, donde t es el tiempo de producción y f(t) la cantidad de producto y queremos saber si tiene una producción máxima o mínima en el intervalo de tiempo t=0 meses hasta t=7 meses o \left [ 0,7 \right ].

 

Ahora aplicamos el teorema de Weierstrass y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo \left [ -1,4 \right ], en la siguiente grafica se representa a la función.

Grafica de la función.

Claramente en la gráfica se puede ver que:
0\leqslant f(x)\leqslant6              si x\epsilon \left [ -1,4 \right ] .

 

2 f(x)=\frac{1}{x} en el intervalo \left [ 2,4 \right ].

 

Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función f(x)=\frac{1}{x}, que es \left ( -\infty ,\infty \right )/\left \{ 0 \right \}, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 0 y no esta en el intervalo \left [ 2,4 \right ].

Entonces aplicamos el teorema teorema de Weierstrass  y nos implica que alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo \left [ 2,4 \right ].

 

f(x)=\frac{1}{x-1} en el intervalo \left [ -2,2 \right ].

 

Primero analicemos si es continua en el intervalo dado y para eso encontramos el dominio de la función f(x)=\frac{1}{x-1}, y como es una función racional tomamos solo el denominador e igualamos a cero.
x-1=0
Ahora despejamos x,
x=1
Entonces el dominio es \left ( -\infty ,\infty \right )/\left \{ 1 \right \}, lo que implica que el único número que no esta definida la función es 1 y como esta en el intervalo \left [ -2,2 \right ] por lo tanto no podemos usar el teorema de Weierstrass  ya que un requisito es que sea continua en el intervalo requerido y en el punto x=1 no lo es.

Entonces no sabemos si hay un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo \left [ -2,2 \right ].

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗