Si la variable a integrar es x, las principales fórmulas de integración son:

Algebraicas

\displaystyle \int dx = x + C

\displaystyle \int c dx = cx+ C

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

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Logarítmicas

\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln x +C

Exponenciales

\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C

\displaystyle \int e^x dx = e^x + C

Trigonométricas

\displaystyle \int \,\text{sen}\, x dx = -\cos x + C

\displaystyle \int \cos x dx = \,\text{sen}\, x +C

\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \int (1+\tan^2 x) dx = \tan x +C

\displaystyle \int \frac{1}{\,\text{sen}^2\, x}dx = \int \csc^2 x dx =\int (1+\cot^2 x) dx = -\cot x + C

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \,\text{arcsen}\, x + C

\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x + C

 

Ejercicios de integración

 

1 \displaystyle \int x^6 dx

Tenemos que integrar un monomio del estilo x^n así que usamos la fórmula

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C

\displaystyle \int x^6 dx = \frac{x^7}{7} + C

 

2 \displaystyle \int 7x^3 dx

Tenemos que integrar un monomio del estilo x^n así que usamos la fórmula

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int 7x^3 dx =7\int x^3 dx =\frac{7x^{3+1}}{3+1}+C

\displaystyle \int 7x^3 dx = \frac{7x^4}{4}+C

 

3 \displaystyle \int x^{2/3} dx

Tenemos que integrar un monomio del estilo x^n así que usamos la fórmula. Notemos que el exponente es fraccionario, pero eso no tiene nada de particular, pues la misma fórmula funciona

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int x^{\frac{2}{3}} dx  = \frac{ x^{\frac{2}{3} +1}}{\frac{2}{3}+1}+C =  \frac{ x^{\frac{2}{3} +\frac{3}{3} }}{\frac{2}{3}+\frac{3}{3} }+C

Desarrollamos la suma y simplificamos

\displaystyle \int x^{\frac{2}{3}} dx  =  \frac{ x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C

\displaystyle \int x^{\frac{2}{3}} dx  = \frac{ 3x^{\frac{5}{3}}}{5}+C

Generalmente no se muestran los resultados con exponente fraccionario sino con la raíz que corresponde usando la fórmula

\displaystyle x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}

La aplicamos

\displaystyle \int x^{\frac{2}{3}} dx  = \frac{ 3\sqrt[3]{x^{5}}}{5}+C

 

4 \displaystyle \int \frac{3}{x^4} dx

Antes de aplicar alguna de las fórmulas que vimos, debemos convertir la expresión usando que

\displaystyle \frac{1}{x^n}=x^{-n}

Entonces

\displaystyle \int \frac{3}{x^4} dx = \int 3x^{-4} dx

Y así podemos usar la fórmula para integrar monomios x^n

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int \frac{3}{x^4} dx = \int 3x^{-4} dx= \frac{3x^{-4+1}}{-4+1}+C  =\frac{3x^{-3}}{-3}+C

Simplificamos y nos deshacemos del exponente negativo usando la fórmula que usamos al principio (ya que al igual que los exponentes fraccionarios, es preferible mostrar expresiones equivalentes pero con exponente entero positivo)

\displaystyle \int \frac{3}{x^4} dx = -x^{-3}+C=-\frac{1}{x^3}+C

 

5 \displaystyle \int \sqrt[3]{x} dx

Antes de aplicar alguna de las fórmulas que vimos, debemos convertir la expresión usando que

\displaystyle x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}

Entonces

\displaystyle \int \sqrt[3]{x} dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx

Como llegamos a un monomio usamos la fórmula

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De tal modo que

\displaystyle \int \sqrt[3]{x} dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C= \frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4} + C =\frac{3\sqrt[3]{x^{4}}}{4} + C

Como último paso simplificamos y nos deshacemos del exponente fraccionario usando una raíz

\displaystyle \int \sqrt[3]{x} dx \frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4} + C =\frac{3\sqrt[3]{x^{4}}}{4} + C

 

6 \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx

Antes de aplicar alguna de las fórmulas que vimos, debemos convertir la expresión usando que

\displaystyle x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}

Así que

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} dx

Sin embargo la variable está en el denominador. Usando que

\displaystyle \frac{1}{x^n}=x^{-n}

Obtenemos

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx = \int x^{\frac{-1}{4}}dx

Y ahora sí podemos usar la fórmula para integrar monomios

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx = \int x^{\frac{-1}{4}}dx = \frac{x^{\frac{-1}{4}+1}}{\frac{-1}{4}+1}+C = \frac{4x^{\frac{3}{4}}}{3} + C = \frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3}+ C

 

7 \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx

Antes de aplicar alguna de las fórmulas que vimos, debemos convertir la expresión usando que

\displaystyle x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}

Así que

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}dx

Sin embargo la variable está en el denominador. Con la fórmula

\displaystyle \frac{1}{x^n}=x^{-n}

Obtenemos

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int x^{\frac{-2}{3}}dx

Y ahora sí podemos usar la fórmula para integrar monomios

\displaystyle \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

De modo que

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int x^{\frac{-2}{3}}dx = \frac{x^{\frac{-2}{3}+1}}{\frac{-2}{3}+1}+C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C = 3\sqrt[3]{x}+C

 

8 \displaystyle \int 4x^2 -\frac{e^}{2}-\frac{1}{1+x^2}+ \cos x dx

Tenemos expresiones de varios tipos. Debemos recordar que la integral de una suma es la suma de la integrales, esto quiere decir que podemos aplicar la formula correspondiente a cada término y al final sumarlo

\displaystyle \int 4x^2 -\frac{e^x}{2}-\frac{1}{1+x^2}+ \cos x dx = \frac{4x^{2+1}}{2+1}-\frac{e^x}{2}-\arctan x +\,\text{sen}\, x + C

Simplificamos donde sea necesario

\displaystyle \int 4x^2 -\frac{e^x}{2}-\frac{1}{1+x^2}+ \cos x dx = \frac{4x^{3}}{3}-\frac{e^x}{2}-\arctan x +\,\text{sen}\, x + C

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗