Derivada del producto de dos funciones

 

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. En otras palabras, si tenemos f(x), u(x) y v(x) funciones tal que f(x) = u(x) \cdot v(x) = u \cdot v, entonces se cumple que

 

\displaystyle f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) = u' \cdot v + v' \cdot u

 

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Derivada de una constante por una función

 

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Así, tenemos que

 

\displaystyle [k \cdot f(x)]' = (k \cdot f)'(x) = k \cdot f'(x), \qquad \forall k \in \mathbb{R}

 

Ejemplos

 

Veremos algunos ejemplos para practicar y poder entender mejor esta propiedad de la derivada del producto de funciones.

 

1. \displaystyle f(x) = -5x

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones u y v tal que f(x) = u(x) \cdot v(x). En nuestro caso escogeremos a u(x) = -5 y a v(x) = x. Ahora obtengamos sus derivadas

 

\displaystyle u'(x) = 0

 

\displaystyle v'(x) = 1

 

Ya que tenemos a u, v, u' y v', sustituimos en la fórmula de la derivada del producto de funciones para obtener f'(x):

 

     \begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (0)(x) + (1)(-5)\\ &= -5 \end{align*}

 

2. \displaystyle f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + 3x)

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones u y v tal que f(x) = u(x) \cdot v(x). En nuestro caso escogeremos a u(x) = x^2 - 1 y a v(x) =x^3 + 3x. Ahora obtengamos sus derivadas

 

\displaystyle u'(x) = 2x

 

\displaystyle v'(x) = 3x^2 + 3

 

Como tenemos a u, v, u' y v', el próximos paso es de sustituirlos en la fórmula de la derivada del producto de funciones:

 

     \begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (2x)(x^3 + 3x) + (3x^2 + 3)(x^2 - 1)\\ &= (2x^4 + 6x^2) + (3x^4 - 3)\\ &= 5 x^4 + 6 x^2 - 3 \end{align*}

 

3. \displaystyle f(x) = (5x^2 - 3)(x^2 + x + 4)

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones u y v tal que f(x) = u(x) \cdot v(x). En nuestro caso escogeremos a u(x) = 5x^2 - 3 y a v(x) = x^2 + x + 4. Ahora obtengamos sus derivadas

 

\displaystyle u'(x) = 10x

 

\displaystyle v'(x) = 2x + 1

 

Teniendo a u, v, u' y v', los sustituimos en la fórmula para obtener f'(x):

 

     \begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (10x)(x^2 + x + 4) + (2x + 1)(5x^2 - 3)\\ &= (10x^3 + 10x^2 + 40x) + (10x^3 + 5x^2 - 6x - 3) &= 20x^3 + 15x^2 + 34x - 3 \end{align*}

 

4. \displaystyle f(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \sqrt{x}

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones u y v tal que f(x) = u(x) \cdot v(x). En nuestro caso escogeremos a u(x) = 3^{2x^{2}} y a v(x) = \sqrt{x}. Ahora obtengamos sus derivadas

 

\displaystyle u'(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x

 

\displaystyle v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

 

Ya que tenemos a u, v, u' y v', sustituimos los datos en la fórmula de la derivada del producto de funciones y obtenemos f'(x):

 

     \begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= \left( 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x \right) (\sqrt{x}) + \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} \right) (3^{2x^{2}})\\ &= (3^{2x^{2}}) \left( \ln{(3)} \cdot 4x \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗