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Derivada del producto de dos funciones
Derivada de una constante por una función
Ejemplos de derivadas de un prodeucto

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. En otras palabras, si tenemos $f(x)$ , $u(x)$ y $v(x)$ funciones tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x) = u \cdot v$ , entonces se cumple que

$\displaystyle f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) = u' \cdot v + v' \cdot u$

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Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Así, tenemos que

$\displaystyle [k \cdot f(x)]' = (k \cdot f)'(x) = k \cdot f'(x), \qquad \forall k \in \mathbb{R}$

Ejemplos de derivadas de un prodeucto

Veremos algunos ejemplos para practicar y poder entender mejor esta propiedad de la derivada del producto de funciones.

1. $\displaystyle f(x) = -5x$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = -5$ y a $v(x) = x$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 0$

$\displaystyle v'(x) = 1$

Ya que tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , sustituimos en la fórmula de la derivada del producto de funciones para obtener $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (0)(x) + (1)(-5)\\ &= -5 \end{align*}$

2. $\displaystyle f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + 3x)$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = x^2 - 1$ y a $v(x) =x^3 + 3x$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 2x$

$\displaystyle v'(x) = 3x^2 + 3$

Como tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , el próximos paso es de sustituirlos en la fórmula de la derivada del producto de funciones:

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (2x)(x^3 + 3x) + (3x^2 + 3)(x^2 - 1)\\ &= (2x^4 + 6x^2) + (3x^4 - 3)\\ &= 5 x^4 + 6 x^2 - 3 \end{align*}$

3. $\displaystyle f(x) = (5x^2 - 3)(x^2 + x + 4)$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = 5x^2 - 3$ y a $v(x) = x^2 + x + 4$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 10x$

$\displaystyle v'(x) = 2x + 1$

Teniendo a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , los sustituimos en la fórmula para obtener $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (10x)(x^2 + x + 4) + (2x + 1)(5x^2 - 3)\\ &= (10x^3 + 10x^2 + 40x) + (10x^3 + 5x^2 - 6x - 3) &= 20x^3 + 15x^2 + 34x - 3 \end{align*}$

4. $\displaystyle f(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \sqrt{x}$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = 3^{2x^{2}}$ y a $v(x) = \sqrt{x}$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x$

$\displaystyle v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ya que tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , sustituimos los datos en la fórmula de la derivada del producto de funciones y obtenemos $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= \left( 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x \right) (\sqrt{x}) + \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} \right) (3^{2x^{2}})\\ &= (3^{2x^{2}}) \left( \ln{(3)} \cdot 4x \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \end{align*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Ejercicios de derivadas y continuidad I

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Odris Regina

Octubre 2021

Es el producto de la derivada de una función f(x) por dx

Alejandra

Agosto 2021

Cuales son las características
de la derivada de un producto?

mel

Abril 2021

f(x)=(5x)+(x+2)

Esteban Cobo

Diciembre 2020

En la derivada de x^3 esta mal ya que la respuesta es 3x^2

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre 2020

Hola Esteban.

Ya hemos corregido el error. Gracias por notarlo y tomarte el tiempo de comentarlo, esto nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Martin David Rascon Ocaño

Noviembre 2020

Disculpe, pero la 2da resolución está mal, ¿o no?, al derivar el exponente del x^3 se olvidaron poner su exponente de 3x^2 pasándolo de largo…

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre 2020

Hola Martin.

Ya hemos corregido el error. Gracias por tomarte el tiempo de señalar esto, nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Octubre 2021

Derivada de

La derivada de un producto

Derivada del producto de dos funciones

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