Name: Derivada de un producto
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Marta

16 octubre 2020

Temas

Derivada del producto de dos funciones
Derivada de una constante por una función
Ejemplos

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. En otras palabras, si tenemos $f(x)$ , $u(x)$ y $v(x)$ funciones tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x) = u \cdot v$ , entonces se cumple que

$\displaystyle f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) = u' \cdot v + v' \cdot u$

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Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Así, tenemos que

$\displaystyle [k \cdot f(x)]' = (k \cdot f)'(x) = k \cdot f'(x), \qquad \forall k \in \mathbb{R}$

Ejemplos

Veremos algunos ejemplos para practicar y poder entender mejor esta propiedad de la derivada del producto de funciones.

1. $\displaystyle f(x) = -5x$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = -5$ y a $v(x) = x$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 0$

$\displaystyle v'(x) = 1$

Ya que tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , sustituimos en la fórmula de la derivada del producto de funciones para obtener $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (0)(x) + (1)(-5)\\ &= -5 \end{align*}$

2. $\displaystyle f(x) = (x^2 - 1)(x^3 + 3x)$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = x^2 - 1$ y a $v(x) =x^3 + 3x$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 2x$

$\displaystyle v'(x) = 3x^2 + 3$

Como tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , el próximos paso es de sustituirlos en la fórmula de la derivada del producto de funciones:

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (2x)(x^3 + 3x) + (3x^2 + 3)(x^2 - 1)\\ &= (2x^4 + 6x^2) + (3x^4 - 3)\\ &= 5 x^4 + 6 x^2 - 3 \end{align*}$

3. $\displaystyle f(x) = (5x^2 - 3)(x^2 + x + 4)$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = 5x^2 - 3$ y a $v(x) = x^2 + x + 4$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 10x$

$\displaystyle v'(x) = 2x + 1$

Teniendo a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , los sustituimos en la fórmula para obtener $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= (10x)(x^2 + x + 4) + (2x + 1)(5x^2 - 3)\\ &= (10x^3 + 10x^2 + 40x) + (10x^3 + 5x^2 - 6x - 3) &= 20x^3 + 15x^2 + 34x - 3 \end{align*}$

4. $\displaystyle f(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \sqrt{x}$

Para resolver este ejercicio primero hay que elegir nuestra funciones $u$ y $v$ tal que $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ . En nuestro caso escogeremos a $u(x) = 3^{2x^{2}}$ y a $v(x) = \sqrt{x}$ . Ahora obtengamos sus derivadas

$\displaystyle u'(x) = 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x$

$\displaystyle v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ya que tenemos a $u$ , $v$ , $u'$ y $v'$ , sustituimos los datos en la fórmula de la derivada del producto de funciones y obtenemos $f'(x)$ :

$\begin{align*} f'(x) &= u' \cdot v + v' \cdot u \\ &= \left( 3^{2x^{2}} \cdot \ln{(3)} \cdot 4x \right) (\sqrt{x}) + \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} \right) (3^{2x^{2}})\\ &= (3^{2x^{2}}) \left( \ln{(3)} \cdot 4x \cdot \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \end{align*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Yanina

Junio

es posible encontrar un procedimiento para calcular la función derivada de un producto de funciones, cualquiera sea el numero de factores

Gaspar Leon

Julio

Hola,

si existe y es simple de comprender para esto suponemos que se tiene n funciones $f_1(x), f_2{x}, \dots , f_n(x)$ , entonces la derivada de su producto es igual a la derivada de $f_1(x)$ por el producto de las demás funciones sin derivar, más la derivada de $f_2(x)$ por el producto de las demás funciones sin derivar y seguimos de esta forma hasta sumar la derivada de $f_n(x)$ por el producto de las demás funciones sin derivar. Lo anterior se representa por la siguiente fórmula

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left( \prod_{i=1}^nf_i(x)\right)=\sum_{i=1}^n\left(\frac{df_i}{dx}\right)\cdot\prod_{j\neq i}f_j(x)$

Por ejemplo, la derivada del producto de tres funciones es
$\displaystyle\frac{d}{dx}(f_1\cdot f_2 \cdot f_3)(x)=\frac{df_1}{dx}\cdot (f_2\cdot f_3)(x)+ \frac{df_2}{dx}\cdot (f_1\cdot f_3)(x)+ \frac{df_3}{dx}\cdot (f_1\cdot f_2)(x)$

Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

Adrian

Octubre

Como saber si esta bien mi ecuacion de derivada?

Superprof

Octubre

Hola Adrian, escríbenos tu resolución y la corregiremos 🙂

Martin David Rascon Ocaño

Noviembre

Disculpe, pero la 2da resolución está mal, ¿o no?, al derivar el exponente del x^3 se olvidaron poner su exponente de 3x^2 pasándolo de largo…

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre

Hola Martin.

Ya hemos corregido el error. Gracias por tomarte el tiempo de señalar esto, nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Esteban Cobo

Diciembre

En la derivada de x^3 esta mal ya que la respuesta es 3x^2

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre

Hola Esteban.

Ya hemos corregido el error. Gracias por notarlo y tomarte el tiempo de comentarlo, esto nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

La derivada de un producto

Derivada del producto de dos funciones

Derivada de una constante por una función

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