Para las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas sabemos que cumplen con ser continuas en todos los puntos de su dominio.

 

Un ejemplo es la función

    $$f(x)=\cfrac{2}{x-3},$$

que es continua en los puntos de su dominio.

Observemos que  3  no forma parte de su dominio, pues para éste punto el cociente
x-3  se anula y la división entre cero no está definida. Como consecuencia, la función no es continua en éste punto.

 

Funciones definidas a trozos

 

Una función a trozos es una función que tiene definiciones distintas en "trozos" (o conjuntos de números) distintos. Por ejemplo, la función valor absoluto descrita como
 

    $$ |x|=\begin{cases} -x,\text{ si } x<0\\ x,\text{ si } x\geq 0\\ \end{cases} $$

 

es una función a trozos. En este caso, los distintos trozos en los que se encuentra definida la función anterior son  x\leq 0  y  x\geq 0.
El criterio para la continuidad de funciones definidas a trozos es el siguiente:

Una función definida a trozos será continua si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos.

Lo anterior implica que tienen que coincidir sus límites laterales.

 

A manera de ejemplo, estudiaremos la continuidad de la función

 

    $$ f(x)=\begin{cases} 1,\text{ si } x<1\\ x,\text{ si } 1<x\geq 3\\ -x+6,\text{ si } 3<x\geq 6\\ 0,\text{ si } 6<x\\ \end{cases} $$

Para argumentar la continuidad de la función anterior, hemos de argumentar la continuidad de todas y cada una de las funciones que la definen en sus respectivos dominios. Éstas son

    $$f_1(x)=1, f_2(x)=x, f_3(x) = -x+6, f_4(x)=0.$$

En todos los casos, tendremos que verificar que los límites laterales coincidan pues cada función por sí misma es continua en su dominio.

 

Para la continuidad en  x=1  tenemos que,

    $$\lim_{x^-\rightarrow 1} f(x) = \lim_{x^-\rightarrow 1} f_1(x) = \lim_{x^-\rightarrow 1} f_1(1) = \lim_{x^-\rightarrow 1} 1 = 1$$

    $$\lim_{x^+\rightarrow 1} f(x) = \lim_{x^+\rightarrow 1} f_2(x) = \lim_{x^+\rightarrow 1} f_2(1) = \lim_{x^+\rightarrow 1} 1 = 1$$

Verifiquemos ahora para  x=3

    $$\lim_{x^-\rightarrow 3} f(x) = \lim_{x^-\rightarrow 3} f_2(x) = \lim_{x^-\rightarrow 3} f_2(3) = \lim_{x^-\rightarrow 3} 3 = 1$$

    $$\lim_{x^+\rightarrow 3} f(x) = \lim_{x^+\rightarrow 3} f_3(x) = \lim_{x^+\rightarrow 3} f_3(3) = \lim_{x^+\rightarrow 3} -3+6 = \lim_{x^-\rightarrow 3} 3 = 3 $$

Luego para  x=6

    $$\lim_{x^-\rightarrow 6} f(x) = \lim_{x^-\rightarrow 6} f_3(x) = \lim_{x^-\rightarrow 6} f_3(6) = \lim_{x^-\rightarrow 6} -6+6 = \lim_{x^-\rightarrow 6} 0 = 0 $$

    $$\lim_{x^+\rightarrow 6} f(x) = \lim_{x^+\rightarrow 6} f_4(x) = \lim_{x^+\rightarrow 6} f_4(6) = \lim_{x^+\rightarrow 6} 0 = 0 $$

Como en todos los casos los límites laterales han coincidido, podemos afirmar que la función  f(x)  es continua en todo su dominio, que es igual a  (-\infty,\infty).

 

f + g(x)  definida como  f(x)+g(x).

 

f \cdot g  definida como  f(x)\cdot g(x).

 

f/g  definida como  \cfrac{f(x)}{g(x)},  para  g(x)\neq 0.

 

f\circ g  definida como  f(g(x)).

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (7 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗