Derivada de un logaritmo

Cuando tenemos una función logarítmica

    \[f(x)=\log_a u \]

diremos que la formula para derivarla es la siguiente:

    \[ f'(x)=\frac{u'}{u}\cdot \log_a e .\]

Por otro lado, puesto que de la definición de logaritmo tenemos que

     \[ \log_b x := \frac{\ln x}{\ln b} \]

entonces

    \[ \log _a e = \frac{ln \ e}{ln \ a}= \frac{1}{ln \ a}. \]

Y de aquí, la formula descrita arriba es equivalente a

    \[ f'(x)=\frac{u'}{u} \cdot \frac{1}{\ln a} \]

 

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Vamos

Derivada de un logaritmo neperiano

Cuando tengamos la función logaritmo natural o neperiano

    \[f(x)=\ln u \]

entonces, la derivada será

     \[ f'(x)= \frac{u'}{u} \]

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo. Estas funciones son del tipo

     \[f(x) = u^v, \ \ \ u>0 \]

Para derivarla se puede utilizar la siguiente fórmula:

(1)   \begin{equation*} f'(x) = \left ( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right ) \cdot u^v . \end{equation*}

A continuación mostramos como se obtiene la formula anterior:
Primero escribimos la función como

     \[y = u^v \]

tomamos logaritmo natural por ambos lados y utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia

    \begin{align*} \ln y &= \ln u^v \\ \ln y &= v \ln u \end{align*}

Derivamos ambos lados y despejamos la derivada de la función

    \begin{align*} \cfrac{y'}{y} &= v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \\ y' &= \left ( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right ) \cdot y \end{align*}

y finalmente al sustituir el valor de y, obtenemos (1)

    \begin{equation*} f'(x) = \left ( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right ) \cdot u^v . \end{equation*}

Ejemplos de funciones potencial-exponencial

Derivar las funciones:

1 f(x) = x^{\textrm{sen} \, x}

Escribimos la función como

     \[ y = x^{\textrm{sen} \, x} \]

Tomamos logaritmos

    \[ \ln y = \ln x^{\textrm{sen} \, x} \]

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

     \[ \ln y = \textrm{sen} \, x \cdot \ln x \]

Derivamos en ambas partes

    \[ \cfrac{y'}{y} = \cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot \textrm{sen} \, x \]

Despejamos la derivada de la función

    \[ y' = \left ( \cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot \textrm{sen} \, x \right ) \cdot y \]

Y finalmente sustituimos y

    \[y' = \left ( \cos \, x \cdot \ln x + \cfrac{1}{x} \cdot \textrm{sen} \, x \right ) \cdot x^{\textrm{sen} \, x} \]

2 f(x) = (\textrm{sen} x)^{\cos x}

Escribimos la función como

     \[ y = (\textrm{sen} x)^{\cos x} \]

Tomamos logaritmos

    \[ \ln y = \ln (\textrm{sen} x)^{\cos x} \]

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

     \[ \ln y = \cos x \cdot \ln (\textrm{sen} x) \]

Derivamos en ambas partes

    \[ \cfrac{y'}{y}=-\textrm{sen}x \cdot \ln (\textrm{sen} x) + \cos x \frac{\cos x}{\textrm{sen} x} \]

Entonces

    \[ f'(x) = \left (-\textrm{sen}x \cdot \ln (\textrm{sen} x) + \frac{\cos^2 x}{\textrm{sen} x} \right ) \cdot (\textrm{sen} x)^{\cos x} \]

3 f(x) = \sqrt[x^2]{\arccos x}

Escribimos la función como

     \[ y = (\arccos x)^{\frac{1}{x^2}} \]

Tomamos logaritmo por ambos lados

     \[ \ln y = \frac{1}{x^2} \cdot \ln (\arccos x) \]

Derivamos en ambas partes

    \[ \cfrac{y'}{y}=-\frac{2}{x^3} \cdot \ln (\arccos x) - \frac{1}{x^2} \left( \frac{1}{\arccos x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \]

Entonces

    \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \sqrt[x^2]{\arccos x} \left( \frac{2}{x} \ln (\arccos x) + \frac{1}{\arccos x \sqrt{1-x^2}} \right). \]

Ejemplos de calculo de derivadas de funciones logarítmicas

Derivar las siguientes funciones logarítmicas :

1 f(x) = \log_2 (x^4 - 3x)

Utilizando la formula de la derivada de un logaritmos tenemos que

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{\frac{d}{dx}(x^4 - 3x)}{x^4 - 3x} \log_2 \textrm{e} \\ &= \frac{4x^3 - 3}{x^4 -3x} \log_2 \textrm{e} \end{align*}

2 f(x) = \sqrt[3]{\log_4 3x}

Escribimos a f como

     \[f(x) = (\log_4 3x)^{\frac{1}{3}}\]

entonces

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{3} [\log_4 3x]^{-2/3} \frac{d}{dx}[\log_4 3x] \\ &= \frac{1}{3} [\frac{1}{\sqrt[3]{(\log_4 3x})^2}] [\frac{3}{3x}\log_4 e] \\ &= \frac{\log_4 e}{3x \sqrt[3]{(\log_4 3x})^2}} \end{align*}

3 f(x) = \ln[ \frac{1-x}{1+x} ]

Utilizando las propiedades de logaritmos tenemos que

     \[f(x) = \ln(1-x) -\ln(1+x) \]

entonces de la formula para derivar un logaritmo natural

    \begin{align*} f'(x) &= -\frac{1}{1-x} -\frac{1}{1 + x} \\ &= \frac{-1-x-1+x}{(1-x)(1+x)} \\ &= -\frac{2}{1-x^2} \end{align*}

4 f(x) = \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}

Podemos escribir a f como

     \[f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2} \]

de las propiedades de logaritmos

    \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{2}\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ &= \frac{1}{2}[\log(1+x) - \log(1-x)] \end{align*}

y utilizando la formula de derivada para logaritmo

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x}\log e + \frac{1}{1-x}\log e\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}\right]\log e \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}\right]\log e \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{2}{1-x^2}\right]\log e \\ &= \frac{1}{1-x^2} \log e \end{align*}

5 f(x) = x^5 \ln x

Recordando cual es la derivada de un producto, tendremos que

    \begin{align*} f'(x) &= 5x^4 \ln x + x^5 \left[\frac{1}{x}\right] \\ &= 5x^4 \ln x + x^4 \\ &= x^4[5\ln x + 1] \end{align*}

6 f(x) = \ln^5 3x = (\ln 3x)^5

Utilizando la regla de la cadena

    \begin{align*} f'(x) &=5[\ln 3x]^4 \left[\frac{3}{3x}\right] \\ &= \frac{5}{x} \ln^4 3x \end{align*}

7 f(x) = \ln (2x^4 -x^3 + 3x^2 -3x)

De la derivada de logaritmo natural

    \begin{align*} f'(x) &=\frac{\frac{d}{dx}2x^4 - x^3 + 3x^2 -3x}{2x^4 -x^3 + 3x^2 -3x} \\ &= \frac{8x^3 -3x^2 + 6x -3}{2x^4 -x^3 + 3x^2 -3x} \end{align*}

8 f(x) = \ln[ \frac{e^x + 1}{e^x - 1} ]

Observemos que

     \[f(x) = \ln(e^x +1) - \ln(e^x - 1) \]

entonces

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{e^x}{e^x +1} -\frac{e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{e^{2x} - e^x - e^{2x} - e^x}{(e^x +1)(e^x - 1)} \\ &= -\frac{2e^x}{e^{2x} - 1} \end{align*}

9 f(x) = \ln \sqrt{x(1-x)} = \ln (x(1-x))^{1/2}

De las propiedades de logaritmos tenemos

    \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{2}\ln (x(1-x)) \\ &= \frac{1}{2}[\ln x + \ln (1-x)] \end{align*}

entonces

    \begin{align*} f'(x) &=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{x} + \frac{-1}{1-x}\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1-x-x}{x(1-x)}\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1-2x}{x(1-x)}\right] \\ &= \frac{1-2x}{2x(1-x)} \end{align*}

10 f(x) = \ln \sqrt[3]{\frac{3x}{x+2}}

Reescribimos f como

    \begin{align*} f(x) &= \ln \left(\frac{3x}{x+2}\right)^{1/3}\\ &= \frac{1}{3}[\ln 3x - \ln (x+2)] \end{align*}

entonces

    \begin{align*} f'(x) &=\frac{1}{3}\left[\frac{3}{3x} - \frac{1}{x+2}\right] \\ &= \frac{1}{3}\left[\frac{x+2-x}{x(x+2)}\right] \\ &= \frac{2}{3x(x+2)} \end{align*}

11 f(x) = \log_{sen \ x} x

Si escribimos a f como

     \[ y = \log_{sen \ x} x \]

entonces de la definición de logaritmo

     \[ (\textrm{sen x})^y = x \]

Aplicando logaritmo natural a ambos lados

     \begin{align*} \ln (\textrm{sen x})^y &= \ln x \\ y \ln (\textrm{sen x}) &= \ln x \end{align*}

de aquí

    \[ f(x) = \frac{\ln x}{\ln (\textrm{sen x})}\]

y entonces

    \begin{align*} f'(x) &=\frac{1}{\ln^2 (\textrm{sen x})}\left[\frac{\ln (\textrm{sen x})}{x} - \frac{\cos x}{\textrm{sen x}}\ln x\right] \\ &=\frac{1}{\ln^2 (\textrm{sen x})}\left[\frac{\ln (\textrm{sen x})}{x} - \cot x \ln x \right] \end{align*}

12 f(x) = \log_x (\tan x)

Escribimos a f como

     \[ y = \log_x (\tan x) \]

y de la definición de logaritmo

     \[ x^y = \tan x \]

Aplicando logaritmo natural a ambos lados

     \begin{align*} \ln x^y &= \ln \tan x \\ y \ln x &= \ln \tan x \end{align*}

de aquí

    \[ f(x) = \frac{\ln \tan x}{\ln x} \]

y entonces

    \begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{\ln^2 x} \left( \frac{\frac{1}{\cos^2 x}\ln x}{\tan x} + \frac{\ln \tan x}{x} \right)\\ &= \frac{1}{\ln^2 x} \left( \frac{\frac{1}{\cos^2 x}\ln x}{\frac{\texrm{sen} x}{\cos x}} + \frac{\ln \tan x}{x} \right)\\ &= \frac{1}{\ln^2 x} \left( \frac{\ln x}{\textrm{sen} x \cos x} + \frac{\ln \tan x}{x} \right) \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗