Qué es la recta normal

Recordemos que un recta se dice tangente a una función f en un punto (a,f(a)) cuando pasa por el punto y además tiene la misma pendiente que la curva en ese punto, es decir, su pendiente es f'(a). Ahora bien, la recta normal a la función f en el mismo punto (a,f(a)) es la recta perpendicular a la tangente que pasa por dicho punto.

Por lo anterior, tenemos que la pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre si

    \[ m_n = -\frac{1}{m_t}\]

donde m_n pendiente de la recta normal y m_t pendiente de la recta tangente.

En otras palabras, la pendiente de la recta normal a una curva f en un punto (a,f(a)) es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto

     \[m_n = -\frac{1}{f'(a)} \]

Observar recta tangente y normal de la función f

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Ecuación de la recta normal

La recta normal a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a), por lo tanto su ecuación esta dada de la siguiente manera

     \[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a) \]

Ejemplos de la recta normal

1 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva
 f(x) = \ln (\tan 2x) en el punto de abscisa: x = \pi/8
.

Queremos la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva f en el punto (x, f(x)), y puesto que x = \pi/8 entonces

     \[ f(x) &= f(\pi/8) = \ln(\tan (2(\frac{\pi}{8})) = 0 \]

Por otra parte, la ecuación de la recta tangente es de la forma

    \[ y- f(a) = m_t (x- a) \]

En nuestro caso (a,f(a)) = (\pi/8, f(\pi/8)) y para encontrar la pendiente calculamos la primera derivada de f utilizando la regla de la cadena,

     \begin{align*} f'(x) &= \frac{d}{dx} [\ln(\tan 2x)]\\ &= \frac{\frac{d}{dx}[ \tan 2x]}{\tan 2x}\\ &= \frac{2\sec^2{2x} }{\tan 2x} \end{align*}

y entonces

    \[ m_t = f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2\sec^2{(2^*\frac{\pi}{8})} }{\tan (2^*\frac{\pi}{8})} = 4. \]

Si tienes dudas de la regla de la cadena puedes consultar la teoría aquí o aquí.

Ecuación recta tangente:

     \[ y - 0 = 4(x- \frac{\pi}{8}) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad 4x-y-\frac{\pi}{2} = 0. \]

Para la recta normal tenemos que  m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4} entonces

Ecuación recta normal:

     \[ y - 0 = -\frac{1}{4}(x- \frac{\pi}{8}) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad x + 4y-\frac{\pi}{8} = 0. \]

2 Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x^2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Parabola y bisectriz del primer cuadrante

 

Puesto que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante tendremos que

    \[ m_t = 1. \]

Por otro lado, supongamos que  (a, f(a)) punto de tangencia, y ya que  f'(x) = 2x + 1 entonces

     \[ m_t = f'(a) = 2a + 1 = 1 \]

de donde se obtiene que  a = 0 y  f(a) = f(0) = 1.

Con lo anterior y considerando que m_n = -\frac{1}{m_t} concluimos que

Ecuación recta tangente:

     \[ y - 1 = (x-0) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad y = x+1 \]

Ecuación recta normal:

     \[ y - 1 = -(x-0) \quad \quad \textrm{o} \quad \quad y= 1-x. \]

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (4 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗