Las hipérbolas son funciones racionales de la forma  f(x)=\frac{k}{x}, donde k\in \mathbb{R}.

Por ejemplo, de la función racional f(x)=\frac{2}{x} se pueden destacar dos aspectos:

  • Sus asíntotas son los ejes
  • El centro de la hipérbola, el punto donde se cortan las asíntotas en este caso es el origen.

función racional f(x)=2/x

Además, es posible deducir el comportamiento de otras funciones racionales a partir de la traslación de las hipérbolas como se ilustra en las siguientes secciones.

 

Traslación vertical

La traslación vertical de una hipérbola consiste en el desplazamiento de una hipérbola centrada en el origen hacia arriba o abajo respecto al origen del plano de coordenadas. De tal manera, que tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*}f(x)=\frac{k}{x}+a\end{equation*}

Donde  (0, a) es el centro de la hipérbola, con la particularidad de que:

  • Si a>0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia arriba a unidades.
  • Si a<0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia abajo a unidades.

Ejemplo:

  • f(x)=\frac{2}{x}+3

Desplazamiento de una hipérbola tres unidades arriba

  • El centro de la hipérbola es: (0, 3).
  • Como a>0, f(x)=\frac{2}{x} se desplaza hacia arriba 3 unidades.

Ejemplo:

  • f(x)=\frac{2}{x}-3
  • El centro de la hipérbola es: (0, -3).
  • Como a<0, entonces f(x)=\frac{2}{x} se desplaza hacia abajo 3 unidades.

Hipérbola desplazada tres unidades hacia abajo

 

hipérbola desplazada tres unidades a la izquierda respecto al origen

Ejemplo:

  • f(x)=\frac{2}{x-3}
  • El centro de la hipérbola es: (3, 0).
  • Como b<0, entonces f(x)=\frac{2}{x} se desplaza hacia la derecha 3 unidades.

hipérbola desplazada tres unidades a la derecha respecto al origen de coordenadas

 

Traslación oblicua

La traslación oblicua de una hipérbola consiste en el desplazamiento de una hipérbola centrada en el origen tanto vertical como horizontalmente, de tal manera, que tenemos la siguiente relación:

    \begin{equation*}f(x)=\frac{k}{x+b}+a\end{equation*}

Donde  (-b, a) es el centro de la hipérbola, con la particularidad de que:

  • Si b>0 y a>0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia la izquierda b unidades y hacia arriba a unidades.
  • Si b>0 y a<0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia la izquierda b unidades y hacia abajo a unidades.
  • Si b<0 y a<0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia la derecha b unidades y hacia abajo a unidades.
  • Si b<0 y a>0, f(x)=\frac{k}{x} se desplaza hacia la derecha b unidades y hacia arriba a unidades.

Ejemplo:

  • f(x)=\frac{2}{x-3}+4
  • El centro de la hipérbola es: (3, 4).
  • Como b<0 y a>0 , entonces f(x)=\frac{2}{x} se desplaza hacia la derecha 3 unidades y hacia arriba 4 unidades.

Hiperbola con desplazamiento horizontal y vertical

Ejemplo:

  • f(x)=\frac{3x+5}{x+1}.

En este caso para resolver necesitamos calcular el resultado de la división, en caso de no recordar el procedimiento puedes consultar la teoría sobre división de polinomios, de tal manera que podemos reescribir la expresión de la siguiente forma:

  • f(x)=\frac{2}{x+1}+3.
  • El centro de la hipérbola es: (-1, 3).
  • Además como a>0 y b>0 , entonces f(x)=\frac{2}{x} se desplaza hacia arriba 3 unidades y hacia la izquierda una unidad.

Hipérbola desplazada una unidad a la izquierda y tres hacia arriba respecto al origen

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗