El cambio de variable es una técnica que nos permite pasar de una ecuación o integral complicada a otra más sencilla.
Los cambios de variable más frecuentes se suelen dar en:
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.
Cambio de variable en las ecucaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:
ax4 + bx2 + c = 0
Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:
at2 + bt + c = 0
Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:
El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:
ax6 + bx3 + c = 0
ax8 + bx4 + c = 0
ax10 + bx5 + c = 0
Cambio de variable en las ecucaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales
Cambio de variable en las ecucaciones logarítmicas
Integrales por cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º
Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º
Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º
Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
Cambios de variables
1.
2.
3.
4.
5.
En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.6.
Si
7.
Si
Ejemplos
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