Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 1

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.

Que el punto x= a tenga imagen.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 2

2.

Que exista el límite de la función en el punto x = a.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 3

3.

Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 4

Estudiar la continuidad de Explicaciones y ejemplos de continuidad - 5 en x =2

f(2)= 4

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 6

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 7

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 8

Continuidad lateral

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 9

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 10

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 11

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 12

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 13

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 14

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:

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Explicaciones y ejemplos de continuidad - 16

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 17

Continuidad de una función

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 18

La función Explicaciones y ejemplos de continuidad - 19 es continua en Explicaciones y ejemplos de continuidad - 20 − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función Explicaciones y ejemplos de continuidad - 21 es continua en Explicaciones y ejemplos de continuidad - 22.

Porue las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

Explicaciones y ejemplos de continuidad - 23

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x=a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.