Si {f (x)\; } y {\; f'(x)} son derivables en {x=a}

 

1 {f''(x)>0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f(x)} es convexa en {x=a}

 

2{f''(x)<0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f(x)} es cóncava en {x=a}

 

 

Criterio de concavidad y convexidad

 

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

 

Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

 

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

 

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

 

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo {x_{1} \; } y {\; x_{2}}, el segmento que une los puntos {(x_{1}, f(x_{1}))\; } y {\; (x_{2}, f(x_{2}))\; } siempre queda por debajo de la gráfica.

 

grafica de funcion concava

 

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

 

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo {x_{1} \; } y {\; x_{2}}, el segmento que une los puntos {(x_{1}, f(x_{1}))\; } y {\; (x_{2}, f(x_{2}))\; } siempre queda por encima de la gráfica.

 

grafica de funcion convexa

 

 

Superprof

Intervalos de concavidad y convexidad

 

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

 

{f(x)=x^{3}-3x+2}

 

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

 

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 

{f''(x)=6x}

 

{6x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=0}

 

 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 

 Intervalo de raiz de la derivada dibujo

 

 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

 

Si  {f''(x)>0}, entonces {f(x)} es convexa

 

Si {f''(x)<0}, entonces {f(x)} es cóncava

 

Del intervalo {(-\infty, 0)} tomamos {x=-1}, por ejemplo

 

{f''(-1)=6(-1)<0} es cóncava

 

Del intervalo {(0, \infty)} tomamos {x=1}, por ejemplo

 

{f''(1)=6(1)>0} es convexa

 

Intervalo de raiz de la derivada grafica

 

 4  Escribimos los intervalos:

 

Convexidad: {(0, \infty)}

 

Concavidad: {(-\infty, 0)}

 

 

Ejemplos

 

1 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}}

 

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

 

{(x-1)^{2}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  x=1}

 

Así el dominio es

 

{D=\mathbb{R}-\{1\}}

 

Hallamos la derivada primera

 

{f'(x)=\displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}}

 

Hallamos la segunda derivada

 

{f''(x)=\displaystyle\frac{6x}{(x-1)^{4}}}

 

Igualamos a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

{\displaystyle\frac{6x}{(x-1)^{4}}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=0}

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada segunda y con los puntos de discontinuidad

 

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

 

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo

 

Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo

 

Intervalos de concavidad y convexidad 1 grafica

 

Convexa: {(0, 1) \cup (1, \infty)}

 

Cóncava {(-\infty, 0)}

 

2{f(x)=x^{3}-6x^{2}+11}

 

Hallamos la derivada primera

 

{f'(x)=3x^{2}-12x}

 

Hallamos la segunda derivada

 

{f''(x)=6x-12}

 

Igualamos a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

{6x-12=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=2}

 

Intervalos de concavidad y convexidad

 

Convexa: {(2, \infty)}

 

Cóncava {(-\infty, 2)}

 

Punto de inflexión {(2, f(2))=(2,-5)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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