Pendiente de la recta normal

 

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

 

\displaystyle m_n=-\frac{1}{m_t}

 

Recordemos que la derivada en un punto a nos da la pendiente de la recta tangente. Es decir,

 

m_t=f'(a)

 

Así que la opuesta de la inversa de la derivada de la función, nos da también la pendiente de la recta normal.

 

\displaystyle m_n=-\frac{1}{f'(a)}

 

 

representación gráfica de la ecuación de la recta normal

 

 

La recta normal a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

 

Por lo que la ecuación de la recta normal es

 

\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)

 

 

Ejemplo de ejercicio de la recta

 

1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² + x + 1 que paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra también la ecuación de la recta normal en dicho punto.

 

 

1 Recta tangente

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.

 

Derivamos la función e igualamos a 1 para calcular el valor de x en el que ocurre esto

 

f'(x)=2x+1=1 \hspace{2cm} 2x=1-1=0 \hspace{2cm} x=0

 

Evaluamos x=0 en la función original

 

f(x)=x^2+x+1 \hspace{2cm} f(0)=0^2+0+1=1 \hspace{2cm} f(0)=1

 

Entonces

 

\text{Punto de tangencia} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} (0,1)

 

\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=1

 

\text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-1=x \hspace{1cm} y=x+1

 

2 Recta normal

 

\text{Punto } \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} (0,1)

 

\displaystyle \text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{1}=-1

 

\text{Ecuacion de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y-1=-x \hspace{1cm} y=-x+1

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗