En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral  \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx , siendo P(x) y Q(x) polinomios.

En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de [/latex]Q(x)[/latex], si no fuera así se dividiría.

     \[ \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \int C(x)dx + \int\frac{R(x)}{Q(x)}dx\]

C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos podemos encontrar con diferentes casos, los cuales podemos consultar en la siguiente pagina.

Aquí abordaremos el tercer caso, que es cuando el denominador tiene raíces complejas y simples.

El denominador tiene raíces complejas simples

En este caso tenemos factores de la forma:

     \[ Q(x)= ax^2 + bx + c \]

La fracción \frac{P(x)}{Q(x)} puede escribirse así:

     \[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Mx + N}{ax^2 + bx + c}\]

donde M y N son números a determinar.

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente. A continuación veremos un par de ejemplos para ilustrar esta clase de integrales.

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Vamos

Ejemplos de integrales racionales tipo 3

1 \int \frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} dx

Como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador comenzamos por descomponer el denominador en factores

    \[ \frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{M x+N}{x^{2}+x+1}\]

Efectuamos la suma

    \[ \frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A\left(x^{2}+x+1\right)+(M x+N)(x+1)}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} \]

Puesto que las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores son iguales:

     \begin{align*} x &= A\left(x^{2} + x + 1 \right)+(Mx + N)(x + 1) \\ &= (A + M)x^{2} + (A + M + N)x + A + N \end{align*}

Igualamos los coeficientes de los dos miembros.
 \left\{\begin{array}{l} 0=A+M \\ 1=A+M+N \quad \Rightarrow \quad A=-1 \quad M=1 \quad N=1 \\ 0=A+N \end{array}\right.

entonces

     \[ \int \frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x=-\int \frac{d x}{x+1}+\int \frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx \]

La primera integral es de tipo logariítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.

Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparándola y proseguimos.

    \begin{align*} -\int \frac{d x}{x+1}+\int \frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx &= -\int \frac{d x}{x+1}+ \frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^{2}+x+1} dx \\ &= -\int \frac{d x}{x+1}+ \frac{1}{2}\int \frac{2x+ 1 + 1}{x^{2}+x+1} dx \\ &= -\int \frac{d x}{x+1}+\frac{1}{2}\left(\int \frac{2 x+1}{x^{2}+x+1} d x+\int \frac{1}{x^{2}+x+1} dx \right)\\ &= -\int \frac{d x}{x+1}+\frac{1}{2} \int \frac{2 x+1+1}{x^{2}+x+1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} dx \\ &= -\ln (x+1)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} dx \end{align*}

La integral que nos queda es de tipo arcotangente. Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado:

     \[ \int \frac{1}{x^{2}+x+1} d x=\int \frac{1}{\left(x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+1} d x=\int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} d x \]

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para convertir el 3/4 del denominador en uno y para el caso del binomio al cuadrado tendremos que multiplicar dentro del binomio al cuadrado por la raíz cuadrada de 4/3.

    \begin{align*} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} dx &= \int \frac{\frac{4}{3}}{\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1} dx \\ &= \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1} dx \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{2 x+1}{2}\right)^{2}} dx\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} dx \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \textrm{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}} + C \end{align*}

es decir

     \begin{align*} \int \frac{x}{(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} dx &=-\ln (x+1)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \textrm{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}+C \\ &= -\ln (x+1)+\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}} \textrm{arctg} \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}+C \end{align*}

2\int \frac{3 x-4}{x^{2}+2 x+4} dx

Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.

     \[ \int \frac{3 x+3-3-4}{x^{2}+2 x+4} dx = 3 \int \frac{x+1}{x^{2}+2 x+4} d x-7 \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} dx \]

Multiplicamos y dividimos en la primera fracción por 2

    \begin{align*} 3 \int \frac{x+1}{x^{2}+2 x+4} d x-7 \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} dx &= \frac{3}{2} \int \frac{2 x+2}{x^{2}+2 x+4} d x-7 \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} dx \\ &= \frac{3}{2} \ln \left(x^{2}+2 x+4\right)-7 \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} dx \end{align*}

Para la integral faltante Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado:

     \begin{align*} x^{2}+2 x+4 &= x^{2}+2x+1+3 \\ &= (x+1)^{2}+3 \\ &= 3\left[\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1\right] \end{align*}

entonces

     \[ \int \frac{1}{x^{2}+2 x+4} d x=\frac{1}{3} \int \frac{d x}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}. \]

Realizamos un cambio de variable

     \[ t = \frac{x+1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad dt = \frac{1}{\sqrt{3}} dx \]

por lo que queda

     \begin{align*} \frac{1}{3} \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1} dx &=\frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{3}}{t^{2}+1} dt\\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \textrm{arctg} t + C\\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \textrm{arctg}\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right) + C \end{align}

Por tanto

     \[ \int \frac{3 x-4}{x^{2}+2 x+4} d x=\frac{3}{2} \ln \left(x^{2}+2 x+4\right)-\frac{7 \sqrt{3}}{3} \textrm{arctg}\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right) + C \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗