En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

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Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

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Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

Ejemplos

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No es derivable en x = 0.

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Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

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La función es continua en toda Explicaciones y ejemplos de derivada de las funciones  a trozos - 7.

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f'(−2) = −1f'(−2)+ = 1

No será derivable en: x= -2.

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En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

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La función es continua en toda Explicaciones y ejemplos de derivada de las funciones  a trozos - 13.

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f'(2)- = −1f'(2)+ = 1

f'(3)- = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

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Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.