Derivada en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

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Ejemplo

Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

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Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

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Derivada por la derecha

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Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Ejemplo

Estudiar el valor de la derivada de Explicaciones y ejemplos de derivada - 9 en x = 0

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Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.

Interpretación geométrica de la derivada

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Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

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La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Ejemplo

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

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Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

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Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

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Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1

la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

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2

La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

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Función derivada

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

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Ejemplo

Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

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Explicaciones y ejemplos de derivada - 32

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

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Explicaciones y ejemplos de derivada - 35

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Explicaciones y ejemplos de derivada - 36

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.