Una función es discontinua en un punto, x = a, si:

1.

El punto, x = a, no tiene imagen.

Explicaciones y ejemplos de discontinuidad - 1

Explicaciones y ejemplos de discontinuidad - 2

La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.

Explicaciones y ejemplos de discontinuidad - 3

2.

Que no exista el límite de la función en el punto x = a.

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La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.

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3.

Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.

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La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

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Tipos de discontinuidad

Existen tres tipos de discontinuidad:

1. Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe Explicaciones y ejemplos de discontinuidad - 11 y éste es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1.

La función no está definida en x = a.

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2.

La imagen no coincide con el límite.

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Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

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2. Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

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Salto

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

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Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

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En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

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En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

3. Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

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En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

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En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.