Recordemos que la función arco tangente, {\rm arctg}, no es más que la función inversa de la función tangente. Utilizando las siguiente formulas podemos hallar el valor de la integral de diversas funciones

    $$\int\cfrac{1}{1+x^{2}}dx={\rm arctg}(x)+C.$$

Si u(x) es una función derivable entonces

    $$\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx={\rm arctg}(u(x))+C.$$

A continuación una lista de problemas resueltos de integrales de este tipo.

1 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{1}{5+5x^{2}}dx.

Para hallar el valor de nuestra integral solo debemos factorizar \cfrac{1}{5} y utilizar las formulas previas,

    $$\int\cfrac{1}{5+5x^{2}}dx=\cfrac{1}{5}\int\cfrac{1}{1+x^{2}}dx=\cfrac{1}{5}{\rm arctg}(x)+C.$$

2 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{1}{1+16x^{2}}dx.

En este caso notemos que si u(x)=4x y además multiplicamos y dividimos por 4 tendremos que

    $$\int\cfrac{1}{1+16x^{2}}dx=\cfrac{1}{4}\int\cfrac{4}{1+(4x)^{2}}dx=\cfrac{1}{4}\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx.$$

Al aplicar las formulas previas concluimos que

    $$\int\cfrac{1}{1+16x^{2}}dx=\cfrac{1}{4}\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx=\cfrac{1}{4}{\rm arctg}(4x)+C.$$

3 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{\cos(x)}{1+{\rm sen}^{2}(x)}dx.

En este caso notemos que si u(x)={\rm sen}(x) entonces u'(x)={\rm cos}(x), así

    $$\int\cfrac{\cos(x)}{1+{\rm sen}^{2}(x)}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx={\rm arctg}({\rm sen}(x))+C.$$

4 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{x^{2}}{1+x^{6}}dx.

En este caso notemos que si u(x)=x^{3} entonces u'(x)=3x^{2}. Por lo tanto debemos multiplicar y dividir por 3,

    $$\int\cfrac{x^{2}}{1+x^{6}}dx=\cfrac{1}{3}\int\cfrac{3x^{2}}{1+(x^{3})^{2}}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx.$$

Al aplicar fórmulas previas tenemos que

    $$\int\cfrac{x^{2}}{1+x^{6}}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx=\cfrac{1}{3}{\rm arctg}(x^{3})+C.$$

5 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{{\rm e}^{x}}{1+{\rm e}^{2x}}dx.

En este caso notemos que si u(x)={\rm e}^{x} entonces u'(x)={\rm e}^{x}, así

    $$\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{1+{\rm e}^{2x}}dx=\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{1+({\rm e}^{x})^{2}}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx$$

    $$={\rm arctg}({\rm e}^{x})+C.$$

6 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{3}{1+9x^{2}}dx.

En este caso notemos que si u(x)=3x entonces u'(x)=3, así

    $$\int\cfrac{3}{1+3x^{2}}dx=\int\cfrac{3}{1+(3x)^{2}}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx$$

    $$={\rm arctg}(3x)+C.$$

7 Hallar el valor de la integral \int\cfrac{1}{x^{2}+x+1}dx.

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

    $$\int\cfrac{1}{x^{2}+x+1}dx=\int\cfrac{1}{x^{2}+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}dx$$

    $$=\int\cfrac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dx.$$

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

    $$=\int\cfrac{\frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)^{2}+1}dx=\int\cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)^{2}+1}dx.$$

    $$=\cfrac{2}{\sqrt{3}}\int\cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{2x+1}{2}\right)\right)^{2}+1}dx=\cfrac{2}{\sqrt{3}}\int\cfrac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx.$$

Si u(x)=\cfrac{2x+1}{\sqrt{3}} entonces u'(x)=\cfrac{2}{\sqrt{3}}, así

    $$=\cfrac{2}{\sqrt{3}}{\rm arctg}\left(\cfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗